Em matemática, uma álgebra finitamente gerada (também chamada de álgebra de tipo finito) sobre um anel comutativo R, ou simplesmente uma R-álgebra finitamente gerada, é uma álgebra associativa comutativa A definida pelo homomorfismo de anéis , tal que cada elemento de A pode ser expresso como um polinômio em um número finito de geradores com coeficientes em . Dito de outra forma, existe um homomorfismo de álgebras sobre R sobrejetivo do anel de polinômios para A.
Se K é um corpo, considerado como uma subálgebra de A, e f é a injeção natural , então uma K-álgebra de tipo finito é uma álgebra associativa comutativa A onde existe um conjunto finito de elementos tal que todo elemento de A pode ser expresso como um polinômio em , com coeficientes em K.
Equivalentemente, existem elementos tais que o homomorfismo de avaliação em
é sobrejetivo; assim, aplicando o primeiro teorema do isomorfismo, .
Por outro lado, para qualquer ideal é uma K-álgebra de tipo finito; de fato, qualquer elemento de A é um polinômio nas classes laterais , para i = 1, ..., n, com coeficientes em K. Portanto, obtemos a seguinte caracterização de K-álgebras finitamente geradas: A é uma K-álgebra finitamente gerada se e somente se for isomorfa como uma K-álgebra a um anel quociente do tipo por um ideal
Álgebras que não são finitamente geradas são chamadas de infinitamente geradas.
Um anel finitamente gerado refere-se a um anel que é finitamente gerado quando é considerado como uma -álgebra.
Uma álgebra ser finitamente gerada (de tipo finito) não deve ser confundida com uma álgebra ser finita (veja abaixo). Uma álgebra finita sobre R é uma álgebra associativa comutativa A que é finitamente gerada como um módulo; isto é, uma R-álgebra definida pelo homomorfismo de anéis , tal que cada elemento de A pode ser expresso como uma combinação linear de um número finito de geradores com coeficientes em . Esta é uma condição mais forte do que A ser expressível como um polinômio em um conjunto finito de geradores, como é o caso da álgebra ser finitamente gerada.
Exemplos
A álgebra de polinômios é finitamente gerada. A álgebra de polinômios em um número infinito contável de geradores é infinitamente gerada. O anel de polinômios com coeficientes reais é finitamente gerado sobre , mas não sobre . O corpo de funções racionais em uma variável sobre um corpo infinito K não é uma álgebra finitamente gerada sobre K. Por outro lado, E é gerado sobre K por um único elemento, t, como um corpo. Se é uma extensão de corpos finita, segue-se das definições que E é uma álgebra finitamente gerada sobre F. Por outro lado, se é uma extensão de corpos e E é uma álgebra finitamente gerada sobre F, então a extensão de corpos é finita. Isso é chamado de lema de Zariski. Veja também extensão inteira. Se G é um grupo finitamente gerado, então a álgebra de grupo KG é uma álgebra finitamente gerada sobre K.
Propriedades
Uma imagem homomórfica de uma álgebra finitamente gerada é, ela própria, finitamente gerada. No entanto, uma propriedade semelhante para subálgebras não é válida em geral. Teorema da base de Hilbert: se A é uma álgebra comutativa finitamente gerada sobre um anel noetheriano, então todo ideal de A é finitamente gerado, ou equivalentemente, A é um anel noetheriano.
Relação com variedades afins Álgebras comutativas reduzidas finitamente geradas são objetos básicos de consideração na geometria algébrica moderna, onde correspondem a variedades algébricas afins; por esta razão, essas álgebras também são chamadas de álgebras afins (comutativas). Mais precisamente, dado um conjunto algébrico afim , podemos associar uma K-álgebra finitamente gerada
chamada de anel de coordenadas afins de V; além disso, se é um mapa regular (ou morfismo) entre os conjuntos algébricos afins e , podemos definir um homomorfismo de K-álgebras
então, é um funtor contravariante da categoria dos conjuntos algébricos afins com mapas regulares para a categoria das K-álgebras reduzidas finitamente geradas: este funtor acaba sendo uma equivalência de categorias
e, restringindo-se a variedades afins (ou seja, conjuntos algébricos afins irredutíveis),
Álgebras finitas vs álgebras de tipo finito Lembramos que uma álgebra comutativa A sobre R é um homomorfismo de anéis ; a estrutura de módulo sobre R de A é definida por
Uma R-álgebra A é chamada de finita se for finitamente gerada como um R-módulo, ou seja, se houver um homomorfismo sobrejetivo de R-módulos
Novamente, há uma caracterização de álgebras finitas em termos de quocientes: Uma R-álgebra A é finita se e somente se for isomorfa a um quociente por um submódulo sobre R, .
Por definição, uma R-álgebra finita é de tipo finito, mas a recíproca é falsa: o anel de polinômios é de tipo finito, mas não é finito. No entanto, se uma R-álgebra for de tipo finito e inteira, então ela será finita. Mais precisamente, A é um R-módulo finitamente gerado se e somente se A for gerada como uma R-álgebra por um número finito de elementos inteiros sobre R.
Álgebras finitas e álgebras de tipo finito estão relacionadas às noções de morfismos finitos e morfismos de tipo finito.
Ver também Módulo finitamente gerado Extensão de corpos finitamente gerada Lema de Artin-Tate Lema de normalização de Noether Álgebra finita Morfismo de tipo finito
Referências
Categoria:Álgebras Categoria:Álgebra comutativa