Em álgebra, o lema de Zariski, provado por , afirma que, se um corpo K é finitamente gerado como uma álgebra associativa sobre outro corpo k, então K é uma extensão de corpos finita de k; ou seja, K é finitamente gerado como um módulo (em outras palavras, K é um espaço vetorial de dimensão finita) sobre k.

Uma aplicação importante do lema é uma demonstração da forma fraca do teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz): se I é um ideal próprio de (sendo k um corpo algebricamente fechado), então I tem um zero; isto é, existe um ponto x em tal que para todo f em I. (Demonstração: substituindo I por um ideal maximal , podemos assumir que é maximal. Seja e a sobrejeção natural. Pelo lema, é uma extensão finita. Como k é algebricamente fechado, essa extensão deve ser k. Então, para qualquer , ; ou seja, é um zero de .)

O lema também pode ser entendido a partir da seguinte perspectiva. Em geral, um anel R é um anel de Jacobson se e somente se toda R-álgebra finitamente gerada que é um corpo é finita sobre R. Assim, o lema decorre do fato de que um corpo é um anel de Jacobson.

Demonstrações Duas demonstrações diretas são dadas em Atiyah–MacDonald; uma é devida a Zariski e a outra usa o lema de Artin-Tate. Para a demonstração original de Zariski, veja o artigo original. Outra demonstração direta na linguagem dos anéis de Jacobson é dada abaixo. O lema também é uma consequência do lema de normalização de Noether. De fato, pelo lema de normalização, K é um módulo finito sobre o anel de polinômios onde são elementos de K que são algebricamente independentes sobre k. Mas, como K tem dimensão de Krull zero e como uma extensão inteira de anéis (por exemplo, uma extensão finita de anéis) preserva as dimensões de Krull, o anel de polinômios deve ter dimensão zero; ou seja, .

A seguinte caracterização de um anel de Jacobson contém o lema de Zariski como um caso especial. Lembre-se de que um anel é um anel de Jacobson se todo ideal primo for uma interseção de ideais maximais. (Quando A é um corpo, A é um anel de Jacobson e o teorema abaixo é precisamente o lema de Zariski.)

Demonstração: 2. 1.: Seja um ideal primo de A e defina . Precisamos mostrar que o radical de Jacobson de B é zero. Para esse fim, seja f um elemento não nulo de B. Seja um ideal maximal da localização . Então é um corpo que é uma A-álgebra finitamente gerada e, portanto, é finito sobre A por hipótese; logo, é finito sobre e, assim, é finito sobre o subanel , onde . Pela integridade, é um ideal maximal que não contém f.

1. 2.: Como um anel quociente de um anel de Jacobson é de Jacobson, podemos assumir que B contém A como um subanel. Então a afirmação é consequência do seguinte fato algébrico:

(*) Sejam domínios de integridade tais que B é finitamente gerado como uma A-álgebra. Então existe um a não nulo em A tal que todo homomorfismo de anéis , sendo K um corpo algebricamente fechado, com se estende para .

De fato, escolha um ideal maximal de A que não contenha a. Escrevendo K para algum fecho algébrico de , o mapa canônico se estende para . Como B é um corpo, é injetivo e, portanto, B é algébrico (assim, algébrico finito) sobre . Vamos agora provar (*). Se B contém um elemento que é transcendente sobre A, então ele contém um anel de polinômios sobre A para o qual φ se estende (sem uma exigência sobre a) e, portanto, podemos assumir que B é algébrico sobre A (pelo lema de Zorn, digamos). Sejam os geradores de B como uma A-álgebra. Então cada satisfaz a relação

onde n depende de i e . Defina . Então é inteiro sobre . Agora, dada , nós a estendemos primeiro para definindo . Em seguida, seja . Pela integridade, para algum ideal maximal de . Então se estende para . Restrinja o último mapa a B para concluir a demonstração.

Referências

Bibliografia

Categoria:Álgebra