Em matemática, o lema de normalização de Noether é um resultado de álgebra comutativa, introduzido por Emmy Noether em 1926. Ele afirma que, para qualquer corpo k, e qualquer k-álgebra comutativa finitamente gerada A, existem elementos em A que são algebricamente independentes sobre k e tais que A é um módulo finitamente gerado sobre o anel de polinômios . O inteiro d é igual à dimensão de Krull do anel A; e se A for um domínio de integridade, d também é o grau de transcendência do corpo de frações de A sobre k.

O teorema possui uma interpretação geométrica. Suponha que A seja o anel de coordenadas de uma variedade afim X, e considere S como o anel de coordenadas de um espaço afim de dimensão d, . Então o mapa de inclusão induz um morfismo finito sobrejetivo de variedades afins : isto é, qualquer variedade afim é um revestimento ramificado de um espaço afim. Quando k é infinito, tal mapa de revestimento ramificado pode ser construído tomando uma projeção geral de um espaço afim contendo X para um subespaço de dimensão d.

Mais geralmente, na linguagem dos esquemas, o teorema pode ser equivalentemente enunciado como: todo k-esquema afim (de tipo finito) X é finito sobre um espaço afim de dimensão n. O teorema pode ser refinado para incluir uma cadeia de ideais de R (equivalentemente, subconjuntos fechados de X) que são finitos sobre os subespaços de coordenadas afins das dimensões correspondentes.

O lema de normalização de Noether pode ser usado como um passo importante na demonstração do teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz), de David Hilbert, um dos resultados mais fundamentais da geometria algébrica clássica. O teorema de normalização também é uma ferramenta importante no estabelecimento das noções de dimensão de Krull para k-álgebras.

Enunciado e demonstração Teorema. (Lema de Normalização de Noether) Seja k um corpo e uma k-álgebra finitamente gerada. Então, para algum inteiro d, com , existem algebricamente independentes sobre k tais que A é finito (ou seja, finitamente gerado como um módulo) sobre (o inteiro d é então igual à dimensão de Krull de A). Se A for um domínio de integridade, então d é também o grau de transcendência do corpo de frações de A sobre k.

A demonstração a seguir é devida a Nagata e aparece no "livro vermelho" de David Mumford. Uma demonstração mais geométrica é dada na página 176 do mesmo livro.

Demonstração: Faremos indução sobre m. O caso é e não há nada a provar. Assuma . Então como k-álgebras, onde é algum ideal. Como é um DIP (pois é um domínio euclidiano), . Se , terminamos; então assuma . Seja e o grau de f. Então A é gerado, como um espaço vetorial sobre k, por . Assim, A é finito sobre k. Assuma agora . Se os são algebricamente independentes, então definindo , terminamos. Se não, é suficiente provar a afirmação de que existe uma k-subálgebra S de A que é gerada por elementos, tal que A é finito sobre S. De fato, pela hipótese indutiva, podemos encontrar, para algum inteiro d, , elementos algebricamente independentes de S tais que S é finito sobre . Como A é finito sobre S, e S é finito sobre , obtemos a conclusão desejada de que A é finito sobre .

Para provar a afirmação, assumimos por hipótese que os não são algebricamente independentes, de modo que existe um polinômio não nulo f em m variáveis sobre k tal que . Dado um inteiro r que será determinado mais tarde, defina

e, para simplificar a notação, escreva

Então, o que precede se lê:

Agora, se for um monômio que aparece no lado esquerdo da equação acima, com coeficiente , o termo de maior grau em após a expansão do produto tem a forma . Sempre que o expoente acima coincidir com o maior expoente de produzido por algum outro monômio, é possível que o termo de maior grau em de não tenha a forma acima, porque pode ser afetado por cancelamentos. No entanto, se r for suficientemente grande (por exemplo, podemos definir ), então cada codifica um número único na base r, de modo que isso não ocorre. Para tal r, seja o coeficiente do único monômio de f de multigrau para o qual a quantidade é máxima. A multiplicação de por fornece uma equação de dependência inteira de sobre , ou seja, é inteiro sobre S. Além disso, como , A é de fato finito sobre S. Isso completa a prova da afirmação, logo concluímos a primeira parte.

Além disso, se A é um domínio de integridade, então d é o grau de transcendência de seu corpo de frações. De fato, A e o anel de polinômios têm o mesmo grau de transcendência (ou seja, o grau do corpo de frações), uma vez que o corpo de frações de A é algébrico sobre o de S (pois A é inteiro sobre S) e S tem grau de transcendência d. Assim, resta mostrar que a dimensão de Krull de S é d. (Isso também é uma consequência da teoria da dimensão.) Faremos indução sobre d, sendo o caso trivial. Como é uma cadeia de ideais primos, a dimensão é de pelo menos d. Para obter a estimativa inversa, seja uma cadeia de ideais primos. Seja . Aplicamos a normalização de Noether e obtemos (no processo de normalização, somos livres para escolher a primeira variável) de tal modo que S seja inteiro sobre T. Pela hipótese indutiva, tem dimensão . Pela incomparabilidade, é uma cadeia de comprimento e, então, em , ela se torna uma cadeia de comprimento . Uma vez que , temos . Portanto, .

Refinamento O seguinte refinamento aparece no livro de Eisenbud, que se baseia na ideia de Nagata:

Geometricamente falando, a última parte do teorema diz que para qualquer projeção linear geral induz um morfismo finito (cf. o parágrafo inicial); além de Eisenbud, veja também .

Aplicação ilustrativa: liberdade genérica Uma aplicação não trivial típica do lema de normalização é o teorema da liberdade genérica: Sejam A e B anéis tais que A é um domínio de integridade noetheriano e suponha que exista um homomorfismo de anéis que exiba B como uma álgebra finitamente gerada sobre A. Então existe algum tal que é um A[g−1]-módulo livre.

Para provar isso, seja F o corpo de frações de A. Argumentamos por indução sobre a dimensão de Krull de . O caso base ocorre quando a dimensão de Krull é ; ou seja, ; o que significa que existe algum tal que , de modo que é livre como um A[g−1]-módulo. Para o passo indutivo, observe que é uma F-álgebra finitamente gerada. Assim, pelo lema de normalização de Noether, contém elementos algebricamente independentes tais que é finito sobre o anel polinomial . Multiplicando cada por elementos de A, podemos assumir que os estão em B. Agora consideramos:

Agora, B pode não ser finito sobre A, mas se tornará finito após invertermos um único elemento, como segue. Se b for um elemento de B, então, como um elemento de , ele é inteiro sobre ; isto é, para alguns em . Assim, algum anula todos os denominadores dos coeficientes , e portanto b é inteiro sobre . Escolhendo um número finito de geradores de B como uma ''A-álgebra e aplicando essa observação a cada gerador, encontramos algum tal que é inteiro (e portanto, finito) sobre . Substituímos B, A por , e então podemos assumir que B é finito sobre . Para finalizar, considere uma filtração finita por submódulos de A' tal que para ideais primos (tal filtração existe pela teoria dos primos associados). Para cada i, se , por hipótese indutiva, podemos escolher algum em A tal que seja livre como um módulo sobre , enquanto A''' é um anel polinomial e, portanto, livre. Consequentemente, com , é um módulo livre sobre .

Referências

Bibliografia

. Nota: o lema está nos comentários de atualização.

Leitura complementar Robertz, D.: Noether normalization guided by monomial cone decompositions. Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)

Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Variedades algébricas Categoria:Lemas em álgebra Categoria:Geometria algébrica