A derivação das equações de Navier-Stokes, bem como sua aplicação e formulação para diferentes famílias de fluidos, é um exercício importante na dinâmica dos fluidos com aplicações na engenharia mecânica, física, química, transferência de calor e engenharia elétrica. Uma demonstração explicando as propriedades e os limites das equações, como a existência e suavidade de Navier-Stokes, é um dos importantes problemas não resolvidos da matemática.

Premissas básicas As equações de Navier-Stokes baseiam-se na premissa de que o fluido, na escala de interesse, é um contínuo – uma substância contínua em vez de partículas discretas. Outra premissa necessária é que todos os campos de interesse, incluindo pressão, velocidade do escoamento, densidade e temperatura, são pelo menos fracamente diferenciáveis.

As equações são derivadas dos princípios básicos de continuidade de massa, conservação do momento linear e conservação de energia. Às vezes, é necessário considerar um volume arbitrário finito, chamado de volume de controle, sobre o qual esses princípios podem ser aplicados. Este volume finito é denotado por Ω e sua superfície de contorno por ∂Ω. O volume de controle pode permanecer fixo no espaço ou pode se mover com o fluido.

A derivada material

Mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas maneiras diferentes. Pode-se medir uma dada propriedade seja realizando a medição em um ponto fixo no espaço conforme as partículas do fluido passam, ou acompanhando uma parcela de fluido ao longo de sua linha de corrente. A derivada de um campo em relação a uma posição fixa no espaço é chamada de derivada euleriana, enquanto a derivada acompanhando uma parcela em movimento é chamada de derivada advectiva ou material (ou lagrangiana).

A derivada material é definida como o operador linear:

onde u é a velocidade do escoamento. O primeiro termo no lado direito da equação é a derivada euleriana ordinária (a derivada num referencial fixo, representando mudanças num ponto em relação ao tempo), enquanto o segundo termo representa mudanças de uma quantidade em relação à posição (veja advecção). Esta derivada "especial" é, de fato, a derivada ordinária de uma função de muitas variáveis ao longo de um caminho seguindo o movimento do fluido; ela pode ser derivada através da aplicação da regra da cadeia, na qual todas as variáveis independentes são verificadas quanto à mudança ao longo do caminho (ou seja, a derivada total).

Por exemplo, a medição das mudanças na velocidade do vento na atmosfera pode ser obtida com a ajuda de um anemômetro em uma estação meteorológica ou pela observação do movimento de um balão meteorológico. O anemômetro, no primeiro caso, está medindo a velocidade de todas as partículas em movimento passando por um ponto fixo no espaço, enquanto no segundo caso o instrumento está medindo as mudanças na velocidade conforme se move com o fluxo.

Equações de continuidade A equação de Navier-Stokes é uma equação da continuidade especial. Uma equação de continuidade pode ser derivada dos princípios de conservação de: massa, momento linear, energia. Uma equação da continuidade (ou lei de conservação) é uma relação integral afirmando que a taxa de variação de alguma propriedade integrada φ definida sobre um volume de controle Ω deve ser igual à taxa na qual ela é perdida ou ganha através dos contornos Γ do volume, mais a taxa na qual ela é criada ou consumida por fontes e sumidouros dentro do volume. Isso é expresso pela seguinte equação de continuidade integral:

onde u é a velocidade de escoamento do fluido, n é o vetor unitário normal apontando para fora, e s representa as fontes e sumidouros no escoamento, assumindo os sumidouros como positivos.

O teorema da divergência pode ser aplicado à integral de superfície, transformando-a numa integral de volume:

Aplicando o teorema de transporte de Reynolds à integral à esquerda e depois combinando todas as integrais:

A integral deve ser zero para qualquer volume de controle; isso só pode ser verdade se o próprio integrando for zero, de modo que:

A partir desta valiosa relação (uma equação da continuidade muito genérica), três conceitos importantes podem ser escritos de forma concisa: conservação de massa, conservação de momento e conservação de energia. A validade é mantida se φ for um vetor, caso em que o produto vetor-vetor no segundo termo será uma diádica.

Conservação da massa A massa também pode ser considerada. Quando a propriedade intensiva φ é considerada como a massa, por substituição na equação de continuidade geral, e tomando s = 0 (sem fontes ou sumidouros de massa):

onde ρ é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e u é a velocidade do escoamento. Esta equação é chamada de equação de continuidade de massa, ou simplesmente a equação da continuidade. Esta equação geralmente acompanha a equação de Navier-Stokes.

No caso de um fluido incompressível, Dρ/Dt = 0 (a densidade seguindo o caminho de um elemento de fluido é constante) e a equação se reduz a:

o que é, de fato, uma afirmação da conservação do volume.

Conservação do momento Uma equação geral de momento é obtida quando a relação de conservação é aplicada ao momento. Quando a propriedade intensiva φ é considerada como o fluxo de massa (também densidade de momento), isto é, o produto da densidade de massa e da velocidade do escoamento ρu, por substituição na equação de continuidade geral:

onde u ⊗ u é uma diádica, um caso especial de produto tensorial, que resulta em um tensor de segunda ordem; a divergência de um tensor de segunda ordem é novamente um vetor (um tensor de primeira ordem).

Usando a fórmula para a divergência de uma diádica,

nós então temos

Note que o gradiente de um vetor é um caso especial da derivada covariante, a operação resulta em tensores de segunda ordem; exceto em coordenadas cartesianas, é importante entender que este não é simplesmente um gradiente elemento por elemento. Rearranjando:

A expressão mais à esquerda entre parênteses é, pela continuidade de massa (mostrada antes), igual a zero. Notando que o que resta no lado esquerdo da equação é a derivada material da velocidade de escoamento:

Isso parece ser simplesmente uma expressão da Segunda lei de Newton (F = ma) em termos de forças de corpo (forças de campo) em vez de forças pontuais. Cada termo em qualquer caso das equações de Navier-Stokes é uma força de corpo. Uma maneira mais curta, embora menos rigorosa, de chegar a esse resultado seria a aplicação da regra da cadeia à aceleração:

onde u = (u, v, w). O motivo pelo qual isso é "menos rigoroso" é que não demonstramos que a escolha de

é correta; no entanto, faz sentido, já que com essa escolha de caminho a derivada está "seguindo" uma "partícula" de fluido e, para que a Segunda lei de Newton funcione, as forças devem ser somadas seguindo uma partícula. Por esta razão, a derivada convectiva também é conhecida como derivada da partícula.

Equação do momento de Cauchy

A densidade genérica da fonte de momento s vista anteriormente é especificada primeiramente dividindo-a em dois novos termos: um para descrever as tensões internas e um para forças externas, como a gravidade. Ao examinar as forças atuando sobre um pequeno cubo em um fluido, pode-se demonstrar que

onde σ é o tensor de tensão de Cauchy, e f contabiliza as forças de corpo presentes. Esta equação é chamada de equação do momento de Cauchy e descreve a conservação de momento não-relativística de qualquer contínuo que conserve a massa. σ é um tensor simétrico de segunda ordem dado por suas componentes covariantes. Em coordenadas ortogonais de três dimensões, é representado como a matriz 3 × 3:

onde os σ são tensões normais e os τ tensões de cisalhamento. Esta matriz é dividida em dois termos:

onde I é a matriz identidade 3 × 3 e τ é o tensor de tensão desviadora. Note que a pressão mecânica p é igual ao negativo da tensão normal média:

A motivação para fazer isso é que a pressão é tipicamente uma variável de interesse, e isso também simplifica a aplicação a famílias de fluidos específicas mais adiante, uma vez que o tensor mais à direita τ na equação acima deve ser zero para um fluido em repouso. Note que o traço de τ é nulo. A equação de Cauchy pode agora ser escrita em outra forma mais explícita:

Esta equação ainda está incompleta. Para a conclusão, deve-se formular hipóteses sobre as formas de τ e p, isto é, necessita-se de uma lei constitutiva para o tensor de tensões, que pode ser obtida para famílias de fluidos específicas, e sobre a pressão. Algumas dessas hipóteses levam às equações de Euler, outras levam às equações de Navier-Stokes. Além disso, se for assumido que o escoamento é compressível, será exigida uma equação de estado, a qual provavelmente também exigirá uma formulação de conservação de energia.

Aplicação a fluidos diferentes A forma geral das equações de movimento não está "pronta para o uso", o tensor de tensões ainda é desconhecido, de modo que mais informações são necessárias; essas informações referem-se normalmente a algum conhecimento sobre o comportamento viscoso do fluido. Para diferentes tipos de escoamento de fluidos, isso resulta em formas específicas das equações de Navier-Stokes.

Fluido newtoniano

Fluido newtoniano compressível A formulação para fluidos newtonianos origina-se de uma observação feita por Newton de que, para a maioria dos fluidos,

Com o intuito de aplicar isso às equações de Navier-Stokes, três premissas foram feitas por Stokes:

O tensor de tensões é uma função linear do tensor taxa de deformação ou, equivalentemente, do gradiente de velocidade. O fluido é isotrópico. Para um fluido em repouso, ∇ ⋅ τ deve ser zero (para que resulte a pressão hidrostática).

A lista acima expõe o argumento clássico de que o tensor de taxa de deformação por cisalhamento (a parte (simétrica) de cisalhamento do gradiente de velocidade) é um tensor de cisalhamento puro e não inclui qualquer parte de entrada/saída (qualquer parte de compressão/expansão). Isso significa que seu traço é nulo, e isso é alcançado subtraindo ∇ ⋅ u de forma simétrica dos elementos diagonais do tensor. A contribuição compressional para a tensão viscosa é adicionada como um tensor diagonal separado.

A aplicação dessas premissas levará a:

ou na forma de tensor

Isso quer dizer que a parte desviadora do tensor taxa de deformação é identificada com a parte desviadora do tensor de tensões, a menos de um fator μ.

δij é o delta de Kronecker. μ e λ são constantes de proporcionalidade associadas à premissa de que a tensão depende da deformação linearmente; μ é chamado de primeiro coeficiente de viscosidade ou viscosidade de cisalhamento (geralmente chamado apenas de "viscosidade") e λ é o segundo coeficiente de viscosidade ou viscosidade volumétrica (e está relacionado com a viscosidade de volume ou bulk viscosity). O valor de λ, que produz um efeito viscoso associado à mudança de volume, é muito difícil de ser determinado, nem mesmo seu sinal é conhecido com certeza absoluta. Mesmo em escoamentos compressíveis, o termo envolvendo λ é muitas vezes negligenciável; contudo, ele pode ocasionalmente ser importante até mesmo em escoamentos quase incompressíveis e é alvo de polêmica. Quando assumido como não nulo, a aproximação mais comum é λ ≈ −2/3 μ.

Uma substituição direta de τij na equação de conservação do momento produzirá as equações de Navier-Stokes, descrevendo um fluido newtoniano compressível:

A força de corpo foi decomposta em densidade e aceleração externa, isto é, f = ρg. A equação de continuidade de massa associada é:

Além dessa equação, uma equação de estado e uma equação para a conservação de energia são necessárias. A equação de estado a ser usada depende do contexto (frequentemente a lei dos gases ideais); a conservação da energia se dará por:

Aqui, h é a entalpia específica, T é a temperatura, e Φ é uma função representando a dissipação de energia devido a efeitos viscosos: