Em matemática, especificamente na álgebra abstrata, os teoremas do isomorfismo (também conhecidos como teoremas do isomorfismo de Noether) são teoremas que descrevem a relação entre quocientes, homomorfismos e subobjetos. Versões dos teoremas existem para grupos, anéis, espaços vetoriais, módulos, álgebras de Lie e outras estruturas algébricas. Na álgebra universal, os teoremas do isomorfismo podem ser generalizados para o contexto de álgebras e congruências.

História

Os teoremas do isomorfismo foram formulados com certa generalidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether em seu artigo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, que foi publicado em 1927 na Mathematische Annalen. Versões menos gerais desses teoremas podem ser encontradas no trabalho de Richard Dedekind e em artigos anteriores de Noether.

Três anos depois, B.L. van der Waerden publicou seu influente Moderne Algebra, o primeiro livro-texto de álgebra abstrata que adotou a abordagem de grupos-anéis-corpos para o assunto. Van der Waerden creditou as palestras de Noether sobre teoria dos grupos e de Emil Artin sobre álgebra, bem como um seminário conduzido por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier e o próprio van der Waerden sobre ideais como as referências principais. Os três teoremas do isomorfismo, chamados de teorema do homomorfismo e duas leis do isomorfismo quando aplicados a grupos, aparecem explicitamente.

Grupos Primeiro apresentamos os teoremas do isomorfismo dos grupos.

Teorema A (grupos)

Sejam e grupos, e seja um homomorfismo. Então: O núcleo de é um subgrupo normal de , A imagem de é um subgrupo de , e A imagem de é isomorfa ao grupo quociente . Em particular, se é sobrejetivo, então é isomorfo a .

Este teorema é geralmente chamado de primeiro teorema do isomorfismo.

Teorema B (grupos)

Seja um grupo. Seja um subgrupo de , e seja um subgrupo normal de . Então as seguintes afirmações são verdadeiras: O produto é um subgrupo de , O subgrupo é um subgrupo normal de , A interseção é um subgrupo normal de , e Os grupos quocientes e são isomorfos. Tecnicamente, não é necessário que seja um subgrupo normal, desde que seja um subgrupo do normalizador de em . Neste caso, não é um subgrupo normal de , mas ainda é um subgrupo normal do produto .

Este teorema é às vezes chamado de segundo teorema do isomorfismo, teorema do diamante ou o teorema do paralelogramo.

Uma aplicação do segundo teorema do isomorfismo identifica os grupos lineares projetivos: por exemplo, o grupo na reta projetiva complexa começa com a definição de , o grupo de matrizes complexas 2 × 2 invertíveis, , o subgrupo de matrizes com determinante 1, e o subgrupo normal de matrizes escalares . Temos , onde é a matriz identidade, e . Então o segundo teorema do isomorfismo afirma que:

Teorema C (grupos) Seja um grupo e um subgrupo normal de . Então Se é um subgrupo de tal que , então tem um subgrupo isomorfo a . Todo subgrupo de é da forma para algum subgrupo de tal que . Se é um subgrupo normal de tal que , então tem um subgrupo normal isomorfo a . Todo subgrupo normal de é da forma para algum subgrupo normal de tal que . Se é um subgrupo normal de tal que , então o grupo quociente é isomorfo a .

A última afirmação é às vezes referida como o terceiro teorema do isomorfismo. As quatro primeiras afirmações são frequentemente englobadas pelo Teorema D abaixo, e referidas como o teorema do reticulado, teorema da correspondência ou quarto teorema do isomorfismo.

Teorema D (grupos)

Seja um grupo e um subgrupo normal de . O homomorfismo de projeção canônica define uma correspondência bijetiva entre o conjunto de subgrupos de contendo e o conjunto de (todos os) subgrupos de . Sob essa correspondência, subgrupos normais correspondem a subgrupos normais.

Este teorema é às vezes chamado de teorema da correspondência, teorema do reticulado e quarto teorema do isomorfismo.

O Lema de Zassenhaus (também conhecido como lema da borboleta) é às vezes chamado de quarto teorema do isomorfismo.

Discussão

O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresso em linguagem da teoria das categorias dizendo que a categoria de grupos é fatorável por (epimorfismo normal, monomorfismo); em outras palavras, os epimorfismos normais e os monomorfismos formam um sistema de fatorização para a categoria. Isso é capturado no diagrama comutativo na margem, que mostra os objetos e morfismos cuja existência pode ser deduzida do morfismo . O diagrama mostra que todo morfismo na categoria de grupos tem um núcleo no sentido da teoria das categorias; o morfismo arbitrário f é fatorado em , onde ι é um monomorfismo e π é um epimorfismo (em uma categoria conormal, todos os epimorfismos são normais). Isso é representado no diagrama por um objeto e um monomorfismo (núcleos são sempre monomorfismos), que completam a sequência exata curta que vai do canto inferior esquerdo para o canto superior direito do diagrama. O uso da convenção da sequência exata nos poupa de ter que desenhar os morfismos nulos de para e .

Se a sequência cinde à direita (isto é, existe um morfismo σ que mapeia para uma pré-imagem de si mesmo em relação a π), então G é o produto semidireto do subgrupo normal e do subgrupo . Se ela cinde à esquerda (isto é, existe algum tal que ), então ela também deve cindir à direita, e é uma decomposição em produto direto de G. Em geral, a existência de uma cisão à direita não implica a existência de uma cisão à esquerda; mas em uma categoria abeliana (como a dos grupos abelianos), as cisões à esquerda e à direita são equivalentes pelo lema da cisão, e uma cisão à direita é suficiente para produzir uma decomposição em soma direta . Em uma categoria abeliana, todos os monomorfismos também são normais, e o diagrama pode ser estendido por uma segunda sequência exata curta .

No segundo teorema do isomorfismo, o produto SN é a junção (supremo) de S e N no reticulado de subgrupos de G, enquanto a interseção S ∩ N é o encontro (ínfimo).

O terceiro teorema do isomorfismo é generalizado pelo lema dos nove para categorias abelianas e mapas mais gerais entre objetos.

Nota sobre números e nomes Abaixo apresentamos quatro teoremas, rotulados como A, B, C e D. Eles são frequentemente numerados como "Primeiro teorema do isomorfismo", "Segundo..." e assim por diante; no entanto, não há um acordo universal sobre a numeração. Aqui damos alguns exemplos dos teoremas do isomorfismo de grupos na literatura. Note que esses teoremas têm análogos para anéis e módulos.

+ Comparação dos nomes dos teoremas do isomorfismo de grupos Comentário Autor Teorema A Teorema B Teorema C Sem o "terceiro" teorema JacobsonJacobson (2009), sec 1.10 Teorema fundamental dos homomorfismos (Segundo teorema do isomorfismo) "frequentemente chamado de primeiro teorema do isomorfismo" van der Waerden,van der Waerden, Algebra (1994). Durbin Teorema fundamental dos homomorfismos Primeiro teorema do isomorfismo Segundo teorema do isomorfismo KnappKnapp (2016), sec IV 2 (Sem nome) Segundo teorema do isomorfismo Primeiro teorema do isomorfismo GrilletGrillet (2007), sec. I 5 Teorema do homomorfismo Segundo teorema do isomorfismo Primeiro teorema do isomorfismo Três teoremas numerados (Outra convenção segundo Grillet) Primeiro teorema do isomorfismo Terceiro teorema do isomorfismo Segundo teorema do isomorfismo RotmanRotman (2003), sec. 2.6 Primeiro teorema do isomorfismo Segundo teorema do isomorfismo Terceiro teorema do isomorfismo FraleighFraleigh (2003), Chap. 14, 34 Teorema fundamental do homomorfismo ou primeiro teorema do isomorfismo Segundo teorema do isomorfismo Terceiro teorema do isomorfismo Dummit & Foote Primeiro teorema do isomorfismo Segundo teorema do isomorfismo ou Teorema do diamante Terceiro teorema do isomorfismo Sem numeração MilneMilne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms Teorema do homomorfismo Teorema do isomorfismo Teorema da correspondência ScottScott (1964), secs 2.2 and 2.3 Teorema do homomorfismo Teorema do isomorfismo Teorema do calouro É menos comum incluir o Teorema D, geralmente conhecido como o teorema do reticulado ou o teorema da correspondência, como um dos teoremas do isomorfismo, mas quando incluído, ele é o último.

Anéis As afirmações dos teoremas para anéis são semelhantes, com a noção de subgrupo normal substituída pela noção de um ideal.

Teorema A (anéis) Sejam e anéis, e seja um homomorfismo de anéis. Então: O núcleo de é um ideal de , A imagem de é um subanel de , e A imagem de é isomorfa ao anel quociente . Em particular, se é sobrejetivo, então é isomorfo a .

Teorema B (anéis) Seja um anel. Seja um subanel de , e seja um ideal de . Então: A soma é um subanel de , A interseção é um ideal de , e Os anéis quocientes e são isomorfos.

Teorema C (anéis) Seja R um anel, e I um ideal de R. Então Se é um subanel de tal que , então é um subanel de . Todo subanel de é da forma para algum subanel de tal que . Se é um ideal de tal que , então é um ideal de . Todo ideal de é da forma para algum ideal de tal que . Se é um ideal de tal que , então o anel quociente é isomorfo a .

Teorema D (anéis) Seja um ideal de . A correspondência é uma bijeção que preserva a inclusão entre o conjunto de subanéis de que contêm e o conjunto de subanéis de . Além disso, (um subanel contendo ) é um ideal de se e somente se é um ideal de .

Módulos As afirmações dos teoremas do isomorfismo para módulos são particularmente simples, uma vez que é possível formar um módulo quociente a partir de qualquer submódulo. Os teoremas do isomorfismo para espaços vetoriais (módulos sobre um corpo) e grupos abelianos (módulos sobre ) são casos especiais destes. Para espaços vetoriais de dimensão finita, todos esses teoremas seguem do teorema do núcleo e da imagem.

A seguir, "módulo" significará "R-módulo" para algum anel fixo R.

Teorema A (módulos) Sejam e módulos, e seja um homomorfismo de módulos. Então: O núcleo de é um submódulo de , A imagem de é um submódulo de , e A imagem de é isomorfa ao módulo quociente . Em particular, se é sobrejetivo, então é isomorfo a .

Teorema B (módulos) Seja um módulo, e sejam e submódulos de . Então: A soma é um submódulo de , A interseção é um submódulo de , e Os módulos quocientes e são isomorfos.

Teorema C (módulos) Seja M um módulo, T um submódulo de M.

Se é um submódulo de tal que , então é um submódulo de . Todo submódulo de é da forma para algum submódulo de tal que . Se é um submódulo de tal que , então o módulo quociente é isomorfo a . Teorema D (módulos) Seja um módulo, um submódulo de . Existe uma bijeção entre os submódulos de que contêm e os submódulos de . A correspondência é dada por para todo . Essa correspondência comuta com os processos de tomar somas e interseções (isto é, é um isomorfismo de reticulados entre o reticulado de submódulos de e o reticulado de submódulos de que contêm ).Dummit and Foote (2004), p. 349

Álgebra universal Para generalizar isso para a álgebra universal, os subgrupos normais precisam ser substituídos por relações de congruência.

Uma congruência em uma álgebra é uma relação de equivalência que forma uma subálgebra de considerada como uma álgebra com operações componente a componente. Pode-se transformar o conjunto de classes de equivalência em uma álgebra do mesmo tipo definindo as operações por meio de representantes; isso será bem definido uma vez que é uma subálgebra de . A estrutura resultante é a álgebra quociente.

Teorema A (álgebra universal) Seja um homomorfismo de álgebras. Então a imagem de é uma subálgebra de , a relação dada por (ou seja, o núcleo de ) é uma congruência em , e as álgebras e são isomorfas. (Note que no caso de um grupo, se e somente se , então recupera-se a noção de núcleo usada na teoria dos grupos neste caso.)

Teorema B (álgebra universal)