Em física, a equação da onda acústica é uma equação diferencial parcial de segunda ordem que governa a propagação de ondas acústicas através de um meio material ou um campo de onda estacionária. A equação descreve a evolução da pressão acústica ou da velocidade de partícula em função da posição e do tempo . Uma forma simplificada (escalar) da equação descreve ondas acústicas em apenas uma dimensão espacial, enquanto uma forma mais geral descreve ondas em três dimensões.
Para meios com perdas, modelos mais intrincados precisam ser aplicados para levar em conta a atenuação dependente da frequência e a velocidade de fase. Tais modelos incluem equações de onda acústica que incorporam termos de derivada fracionária, veja também o artigo sobre atenuação acústica ou o artigo de revisão.S. P. Näsholm and S. Holm, "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation," Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), pp. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 Link para e-print
Definição em uma dimensão
A equação da onda que descreve um campo de onda estacionária em uma dimensão (posição ) é
onde é a pressão acústica (o desvio local da pressão ambiente) e é a velocidade do som, usando notação de subscrito para as derivadas parciais.Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, Chapter 47: Sound. The wave equation, Caltech 1963, 2006, 2013
Dedução
Comece com a lei dos gases ideais
onde é a temperatura absoluta do gás e é a constante de gás específica. Então, assumindo que o processo é adiabático, a pressão pode ser considerada uma função da densidade .
A conservação da massa e a conservação do momento podem ser escritas como um sistema fechado de duas equações
Este sistema acoplado de duas leis de conservação não lineares pode ser escrito em forma vetorial como:
com
Para linearizar esta equação, seja
onde é o estado de fundo (constante) e é uma perturbação suficientemente pequena, ou seja, quaisquer potências ou produtos de podem ser descartados. Assim, a expansão de Taylor de dá:
onde Isso resulta na equação linearizadaDa mesma forma, pequenas perturbações das componentes de podem ser reescritas como:de modo quee as perturbações de pressão se relacionam com as perturbações de densidade como:de modo que: onde é uma constante, resultando na forma alternativa das equações da acústica linear:onde é o módulo de compressibilidade volumétrico. Após omitir o til por conveniência, o sistema linear de primeira ordem pode ser escrito como:Embora, em geral, uma velocidade de fundo não nula seja possível (por exemplo, ao estudar a propagação do som em um vento de intensidade constante), será assumido que . Então, o sistema linear se reduz à equação de onda de segunda ordem:com a velocidade do som.
Assim, a equação acústica pode ser derivada de um sistema de equações de advecção de primeira ordem que seguem diretamente da física, ou seja, os integrais primeiros: comInversamente, dada a equação de segunda ordem , um sistema de primeira ordem pode ser derivado:com onde as matrizes e são semelhantes.
Solução
Desde que a velocidade seja constante, não dependente da frequência (caso sem dispersão), então a solução mais geral é
onde e são duas funções duas vezes diferenciáveis quaisquer. Isso pode ser interpretado como a superposição de duas formas de onda de perfil arbitrário, uma () viajando para cima no eixo x e a outra () para baixo no eixo x à velocidade . O caso particular de uma onda senoidal viajando em uma direção é obtido escolhendo ou como uma senoide, e a outra como zero, resultando
.
onde é a frequência angular da onda e é o seu número de onda.
Em três dimensões
Equação
FeynmanRichard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison fornece uma dedução da equação de onda para o som em três dimensões como
onde é o operador laplaciano, é a pressão acústica (o desvio local da pressão ambiente), e é a velocidade do som.
Uma equação de onda de aparência semelhante, mas para o campo vetorial de velocidade de partícula, é dada por .
Em algumas situações, é mais conveniente resolver a equação de onda para um campo escalar abstrato de potencial de velocidade que tem a forma
e então derivar as grandezas físicas velocidade de partícula e pressão acústica pelas equações (ou definição, no caso da velocidade de partícula): , .
Solução
As seguintes soluções são obtidas por separação de variáveis em diferentes sistemas de coordenadas. São soluções fasoriais, ou seja, têm um fator de dependência temporal implícita de onde é a frequência angular. A dependência temporal explícita é dada por
Aqui é o número de onda.
Coordenadas cartesianas
.
Coordenadas cilíndricas
.
onde as aproximações assintóticas para as funções de Hankel, quando , são
.
Coordenadas esféricas
.
Dependendo da convenção de Fourier escolhida, uma destas representa uma onda viajante para fora e a outra uma onda viajante para dentro não física. A solução de onda viajante para dentro só é não física por causa da singularidade que ocorre em r=0; ondas viajantes para dentro existem.
Ver também Acústica Atenuação acústica Teoria acústica Equações diferenciais Dinâmica dos fluidos Lei dos gases ideais Equações de Madelung Equação de onda unidirecional Pressão Termodinâmica Equação da onda
Referências
Bibliografia
Categoria:Equações diferenciais