A fórmula de difração de Kirchhoff (também denominada fórmula de difração de Fresnel–Kirchhoff) é uma aproximação analítica para a intensidade e a fase da luz na difração óptica, descrevendo o comportamento dos campos luminosos nas regiões de penumbra e transição de sombras. Essa formulação permite modelar a propagação da luz em uma ampla variedade de configurações físicas, seja por meio de expressões analíticas exatas, seja por métodos computacionais. A fórmula expressa a perturbação ondulatória quando a radiação incidente sob consideração é descrita por uma onda esférica monocromática. Ela é deduzida a partir da aplicação do teorema integral de Kirchhoff — o qual utiliza a segunda identidade de Green para resolver a equação de onda escalar homogênea — a uma onda esférica sob determinadas aproximações assintóticas.
O princípio de Huygens–Fresnel pode ser deduzido diretamente como um caso limite da fórmula de difração de Fresnel–Kirchhoff.
Dedução da fórmula de difração de Kirchhoff
O teorema integral de Kirchhoff, por vezes denominado teorema integral de Fresnel–Kirchhoff, emprega a segunda identidade de Green para determinar a solução da equação de onda escalar espacial homogênea para uma radiação monocromática em uma posição espacial arbitrária , em termos dos valores assumidos pela função de onda e por suas derivadas de primeira ordem sobre todos os pontos de uma superfície fechada arbitrária que delimita um volume contendo .
A solução geral fornecida pelo teorema integral para uma fonte monocromática é dada por:onde é a componente espacial da solução da equação de onda escalar homogênea (isto é, ), representa o número de onda, é a distância geométrica do ponto de observação até um elemento infinitesimal de área da superfície de integração, e denota a derivada normal, isto é, a derivada direcional da função tomada ao longo do vetor unitário normal ao elemento de superfície . Por convenção matemática nesta integral, o vetor unitário normal aponta para o interior do volume delimitado pela superfície fechada.
Para o desenvolvimento das seções subsequentes, adotam-se as seguintes hipóteses físicas: A distância entre a fonte pontual de radiação e a região de integração, bem como a distância entre a região de integração e o ponto de observação , são ordens de grandeza superiores ao comprimento de onda . O campo ondulatório sobre a abertura é idêntico ao campo que existiria na ausência total de anteparos ou obstáculos físicos.Essa hipótese também pode ser enunciada considerando-se que as dimensões lineares da abertura são muito maiores do que o comprimento de onda . A amplitude complexa e sua derivada normal anulam-se identicamente sobre as porções opacas do anteparo (o que induz uma condição fisicamente idealizada de descontinuidade matemática nas bordas da abertura). A segunda e a terceira condições são formalmente designadas na literatura como as condições de contorno de Kirchhoff.
Fonte pontual miniatura|upright=1.1|Arranjo geométrico empregado na dedução da fórmula de difração de Kirchhoff. O anteparo é composto por uma abertura e porções opacas . A superfície corresponde a uma calota esférica de raio centrada em . O teorema integral de Kirchhoff é aplicado à superfície fechada formada pela junção dessas três áreas. Considere uma fonte pontual monocromática emitindo ondas esféricas a partir do ponto , iluminando uma abertura disposta em um anteparo plano, conforme ilustrado no diagrama ao lado. A intensidade da onda irradiada por uma fonte pontual decai com o inverso do quadrado da distância percorrida; consequentemente, sua amplitude decresce linearmente com o inverso da distância. A amplitude complexa da perturbação a uma distância radial é dada por:onde quantifica a intensidade da perturbação na origem da fonte pontual.
A perturbação resultante em uma posição espacial arbitrária pode ser calculada aplicando-se o teorema integral de Kirchhoff à superfície fechada constituída pelo plano do anteparo (formado pelas áreas e ) e por uma calota esférica desobstruída de raio centrada em . A integração distribui-se sobre as regiões , e :
Para resolver a equação, assume-se que os valores de e de na área da abertura são idênticos aos valores do campo livre na ausência do anteparo (primeira hipótese da teoria de Kirchhoff; primeira condição de contorno de Kirchhoff). Dessa forma, em um ponto genérico pertencente à abertura:O operador del atua sobre as coordenadas das variáveis espaciais das funções e . Neste contexto, .onde representa o comprimento do segmento de reta , e é o ângulo formado pelo prolongamento do segmento orientado (no sentido de para ) com o vetor unitário normal interior à abertura. Nota-se que , de modo que em toda a extensão de .
No mesmo ponto , obtém-se igualmente: onde é o comprimento do segmento , e é o ângulo entre o vetor prolongado de para e o vetor normal . Como , o termo assume valores estritamente negativos sobre .
Duas aproximações físicas adicionais são introduzidas: (Segunda hipótese da fórmula de Kirchhoff) Nas derivadas normais supracitadas, os termos proporcionais a e entre colchetes são desprezíveis em comparação ao número de onda , uma vez que as distâncias e são ordens de grandeza superiores ao comprimento de onda óptico . Portanto:
(Terceira hipótese da fórmula de Kirchhoff; segunda condição de contorno de Kirchhoff) Kirchhoff postula que os valores da perturbação e de sua derivada normal anulam-se sobre a superfície opaca do anteparo indicada por . Essa imposição implica admitir que e sua derivada sofrem uma transição descontínua na borda física da abertura , o que não ocorre rigorosamente em sistemas eletrodinâmicos reais.J.Z. Buchwald & C.-P. Yeang, "Kirchhoff's theory for optical diffraction, its predecessor and subsequent development: the resilience of an inconsistent theory" , Archive for History of Exact Sciences, vol. 70, n.º 5 (set. de 2016), pp. 463–511; .J. Saatsi & P. Vickers, "Miraculous success? Inconsistency and untruth in Kirchhoff’s diffraction theory", British J. for the Philosophy of Science, vol. 62, n.º 1 (março de 2011), pp. 29–46; jstor.org/stable/41241806.
A contribuição da calota distante para a integral de contorno anula-se assintoticamente, justificando-se por meio de duas abordagens analíticas: Supor que a radiação seja emitida em um instante temporal finito e fixar o raio com magnitude suficientemente grande para que, no momento em que a perturbação em for avaliada, nenhum sinal propagado através de tenha atingido o ponto. Essa suposição rompe a condição ideal de monocromaticidade estrita no domínio do tempo infinito, embora formulações teóricas mais formais demonstrem a validade desse cancelamento sem a necessidade desse artifício transitório.M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie. Berlim, Springer, 1933, reimpressão de 1965, p. 149. A onda difratada ao cruzar a abertura adquire perfil assintótico puramente esférico ao propagar-se a distâncias muito longas.Exemplos análogos em mecânica dos fluidos são observados em ondas aquáticas que, após cruzarem uma abertura estreita, evoluem para frentes de onda circulares concêntricas à medida que se afastam da fenda. Logo, para um raio assintoticamente grande, a onda sobre é descrita por , onde é a distância tomada em relação ao centro geométrico de . A integração ao longo de torna-se:
Dessa forma, a integral que determina a amplitude complexa no ponto de observação reduz-se à integração estrita sobre a área desobstruída da abertura :
Essa expressão é a fórmula de difração de Kirchhoff (ou de Fresnel–Kirchhoff).
Essa mesma relação pode ser obtida selecionando-se uma geometria arbitrária não física no espaço livre, em que uma superfície fechada contorna o ponto de observação afastada da fonte primária . Sob essa perspectiva, a única premissa necessária consiste na condição de que as distâncias de propagação superem substancialmente o comprimento de onda óptico .
Equivalência ao princípio de Huygens–Fresnel miniatura|upright=1.1|Arranjo geométrico empregado para expressar a fórmula de difração de Kirchhoff sob uma estrutura formal análoga à do princípio de Huygens–Fresnel. O princípio de Huygens–Fresnel pode ser demonstrado integrando-se o campo sobre uma superfície de contorno adaptada. No esquema ao lado, a área plana da abertura é substituída analiticamente por: (1) uma porção da própria frente de onda primária esférica emitida por de raio (localizada nas imediações imediatas da abertura); e (2) a seção cônica lateral cujas geratrizes unem a borda da frente de onda às margens do anteparo. Posicionando-se a frente de onda de modo que ela tangencie as extremidades da abertura, a integral sobre a região lateral torna-se desprezível. Sobre a calota esférica , a normal interna é colinear à direção radial proveniente de . Como decorrência direta, o ângulo polar , enquanto o ângulo relaciona-se com o ângulo de deflexão por meio da relação:
A amplitude do campo sobre a frente esférica de raio é expressa por:
Substituindo essas grandezas na fórmula de difração, obtém-se:
onde a integração estende-se sobre a porção da frente de onda esférica contida na abertura. Essa integral reproduz analiticamente o princípio de Huygens–Fresnel com o seu correspondente fator de inclinação angular (fator de obliquidade):
Essa derivação pode ser formalizada rigorosamente considerando-se duas superfícies esféricas concêntricas transparentes centradas na fonte — uma com raio e outra externa estendendo-se ao infinito —, eliminando a necessidade de hipóteses ad hoc sobre a região de transição .
Fonte estendida Suponha agora que a abertura seja iluminada por uma fonte luminosa monocromática extensa e espacialmente descorrelacionada.M. V. Klein & T. E. Furtak, 1986, Optics; 2nd ed. John Wiley & Sons, New York . A distribuição complexa incidente sobre o plano da abertura é descrita por uma função genérica .
Adotando-se as hipóteses de contorno de Kirchhoff convencionais (preservação do campo livre sobre , anulamento de e de sua derivada sobre a região opaca , e decaimento assintótico nulo sobre a calota esférica infinita ), a aplicação do teorema integral de Kirchhoff produz:
Essa relação expressa a forma analítica geral da equação de difração de Kirchhoff.
Caso a fonte extensa encontre-se a uma distância da abertura substancialmente superior ao comprimento de onda óptico, a distribuição de campo sobre a abertura pode ser aproximada pela envoltória quase-esférica:onde quantifica o perfil da amplitude no ponto da fenda. Sob a hipótese de variação espacial lenta da amplitude em relação à escala do comprimento de onda (), o cálculo da derivada normal resulta em:Substituindo essa relação com , a fórmula final de difração assume a forma:
Equações de difração de Fraunhofer e de Fresnel
Não obstante as simplificações conceituais e inconsistências de contorno presentes em sua dedução,A síntese conceitual do método de Kirchhoff estrutura-se nos seguintes passos fundamentais: (1) Posiciona-se um anteparo opaco contendo uma abertura transmissora, situando-se uma fonte pontual monocromática em um semi-espaço e o ponto de observação no semi-espaço oposto; (2) Define-se uma superfície fechada contínua englobando o ponto de observação, composta pelo plano do anteparo e por uma calota hemisférica de raio assintoticamente infinito; (3) Aplica-se o teorema integral de Kirchhoff a essa fronteira sob as condições de contorno de campo nulo na tela opaca e campo livre não perturbado na abertura, assumindo distâncias lineares muito superiores ao comprimento de onda . a fórmula de Kirchhoff fornece uma descrição quantitativa com elevado rigor experimental para os problemas fundamentais da óptica clássica e de instrumentos ópticos. Isso se deve ao fato de o comprimento de onda da radiação visível ser ordens de grandeza menor do que as dimensões macroscópicas das fendas e anteparos usuais.