No cálculo a uma variável, a razão incremental (ou quociente de diferenças) é a expressão matemática dada por:
Esta expressão representa a taxa de variação média da função ao longo do intervalo . Quando tomada no limite com , a razão incremental resulta na derivada da função no ponto .
O termo decorre do fato de ser o quociente entre o incremento do valor da função, , e o incremento correspondente de seu argumento, .
Interpretações
Interpretação geométrica Geometricamente, a razão incremental mede a inclinação (ou declividade) da reta secante que passa pelos pontos de coordenadas e no gráfico da função , onde :
À medida que se aproxima de (isto é, ), a reta secante aproxima-se da reta tangente ao gráfico no ponto , cuja inclinação é dada pela derivada .
Relação com o teorema do valor médio Pelo teorema do valor médio, se for contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , existe pelo menos um ponto tal que a derivada de em é igual à razão incremental no intervalo:
Variações de notação
A razão incremental pode ser formulada utilizando diferentes convenções de diferença finita:
Diferença progressiva (avançada):
Diferença regressiva (atrasada):
Razão incremental simétrica (central):
A razão incremental simétrica é frequentemente usada na diferenciação numérica, pois oferece uma aproximação de segunda ordem para a derivada, reduzindo o erro de truncamento.
Ordem superior e diferenças divididas
Quando a razão incremental é aplicada recursivamente a múltiplos pontos , ela generaliza-se para o conceito de diferença dividida, denotada por .
Para dois pontos, a primeira diferença dividida é a própria razão incremental:
Para três pontos, a segunda diferença dividida é definida como:
Diferenças divididas de ordem superior são a base para a construção do polinômio de Newton na interpolação polinomial.
Denominações históricas
A razão incremental também é conhecida na literatura por outros nomes históricos e conceituais: Quociente de Newton (em homenagem a Isaac Newton); Quociente de diferenças de Fermat (em homenagem a Pierre de Fermat);Donald C. Benson, A Smoother Pebble: Mathematical Explorations, Oxford University Press, 2003, p. 176. Taxa média de variação.
Ver também Derivada Diferenciação numérica Diferença dividida Razão incremental simétrica Teorema do valor médio
Ligações externas
Categoria:Cálculo diferencial