Na matemática (mais especificamente, na álgebra homológica), a cohomologia de grupos é um conjunto de ferramentas matemáticas utilizadas para estudar grupos por meio da teoria da cohomologia, uma técnica oriunda da topologia algébrica. De forma análoga às representações de grupos, a cohomologia de grupos investiga as ações de um grupo em um -módulo associado para elucidar as propriedades estruturais do grupo. Ao tratar o -módulo como uma espécie de espaço topológico cujos elementos de representam -simplexos, é possível calcular propriedades topológicas do espaço, tais como a família de grupos de cohomologia . Os grupos de cohomologia, por sua vez, fornecem informações profundas acerca da estrutura do próprio grupo e do -módulo . A cohomologia de grupos desempenha papel central na investigação dos pontos fixos de uma ação de grupo em um módulo ou espaço e no estudo do módulo quociente ou espaço quociente associado. A teoria é amplamente aplicada na álgebra abstrata, na álgebra homológica, na topologia algébrica e na teoria algébrica dos números, bem como na teoria dos grupos propriamente dita. Como na topologia algébrica, existe uma teoria dual denominada homologia de grupos. As técnicas de cohomologia de grupos também podem ser estendidas para o caso em que, em vez de um -módulo abeliano, atua sobre um grupo não necessariamente abeliano, configurando uma generalização para coeficientes não abelianos.

Essas ideias algébricas estão intimamente relacionadas a conceitos topológicos. A cohomologia de um grupo discreto coincide com a cohomologia singular de um espaço topológico adequado cujo grupo fundamental seja , a saber, o espaço de Eilenberg–MacLane correspondente. Desse modo, a cohomologia de grupos de pode ser interpretada como a cohomologia singular do círculo . De maneira análoga, a cohomologia de grupos de corresponde à cohomologia singular do espaço projetivo real de dimensão infinita .

Dispõe-se de um vasto corpo de resultados sobre a cohomologia de grupos, incluindo interpretações geométricas e algébricas dos grupos de baixa dimensão, propriedades de funtorialidade e teoremas de mudança de grupo. A área teve início na década de 1920, consolidou-se no final da década de 1940 e permanece como um campo de pesquisa altamente ativo.

Motivação Um paradigma central na teoria dos grupos estabelece que um grupo deve ser investigado por meio de suas representações. Uma leve generalização dessas representações é dada pelos -módulos: um -módulo é um grupo abeliano munido de uma ação de grupo de sobre , na qual cada elemento de atua como um automorfismo de . Adota-se aqui a notação multiplicativa para e aditiva para .

Dado tal -módulo , é natural considerar o submódulo dos elementos -invariantes:

Se for um -submódulo de (isto é, um subgrupo de preservado pela ação de ), em geral não é verdade que os invariantes de coincidam com o quociente dos invariantes de pelos invariantes de : a condição de ser invariante "módulo " é mais ampla. O objetivo do primeiro grupo de cohomologia é precisamente quantificar e medir essa discrepância.

Os funtores de cohomologia de grupos medem, em termos gerais, o grau de falha do functor de tomada de invariantes em preservar sequências exatas. Essa obstrução é expressa formalmente por meio de uma sequência exata longa.

Definições A coleção de todos os -módulos forma uma categoria (cujos morfismos são os homomorfismos de grupos equivariantes, isto é, homomorfismos de grupos que satisfazem para todo e ). A correspondência que associa a cada módulo o subgrupo de invariantes define um functor da categoria dos -módulos para a categoria dos grupos abelianos . Esse functor é exato à esquerda, mas não necessariamente exato à direita. É possível, portanto, construir seus funtores derivados à direita. Seus valores são grupos abelianos denotados por , denominado "o -ésimo grupo de cohomologia de com coeficientes em ". Além disso, o grupo é canonicamente identificado com .

Complexos de cocadeias A definição categórica por meio de funtores derivados pode ser concretizada e calculada explicitamente utilizando-se um complexo de cocadeias padrão, o qual é adotado por diversos autores como a própria definição primária.Página 62 de Milne (2008) ou seção VII.3 de Serre (1979). Para cada , seja o grupo abeliano de todas as funções de em (convencionando-se que consiste em um único ponto, de modo que ). Seus elementos são denominados as -cocadeias (não homogêneas). Os homomorfismos de cobordo são definidos por:

Verifica-se diretamente que , de modo que essa família define um complexo de cocadeias. Demonstra-se que a definição de cohomologia de grupos via funtores derivados é isomorfa à cohomologia desse complexo:

Aqui, os grupos de -cociclos e de -cobordos são definidos, respectivamente, por:

Os funtores Extn e a definição formal da cohomologia de grupos Interpretando os -módulos como módulos sobre o anel de grupo , observa-se que:

isto é, o subgrupo dos elementos -invariantes em é identificado com o grupo de homomorfismos partindo de , dotado da estrutura de -módulo trivial (onde cada elemento de atua como a identidade), em direção a .

Sendo os funtores Ext os funtores derivados à direita do functor , obtém-se o isomorfismo canônico:

Esses grupos Ext podem ser computados por meio de qualquer resolução projetiva de como -módulo, com a vantagem operacional de que tal resolução depende unicamente de e não do módulo de coeficientes . Relembrando a definição explícita: seja uma resolução projetiva (por exemplo, uma resolução livre) do -módulo trivial :

Pode-se, por exemplo, adotar a resolução canônica de anéis de grupo , com morfismos dados por:

Dado que o functor é contravariante, sua aplicação termo a termo sobre (descartando-se o termo ) produz o complexo de cocadeias:

Os grupos de cohomologia de com coeficientes em são definidos como a cohomologia desse complexo:

Essa construção formula-se inicialmente sobre as cocadeias "homogêneas", que são as funções pertencentes a que satisfazem a equivariância:

O operador de cobordo homogêneo atua de forma simétrica; por exemplo:

A relação com o operador de cobordo definido na seção anterior, que atua sobre as cocadeias "não homogêneas" , decorre da reparametrização:

e assim sucessivamente. Dessa forma:

recuperando a expressão não homogênea anterior.

Cohomologia do espaço classificador Outra formulação equivalente da cohomologia de grupos recorre às teorias de cohomologia topológica (tais como a cohomologia simplicial, a cohomologia singular ou a cohomologia de feixes).

Mais precisamente, os grupos de cohomologia de um grupo discreto satisfazem o isomorfismo:

onde é um espaço classificador para , ou seja, um espaço topológico cujo grupo fundamental é e cujos grupos de homotopia superiores se anulam (comumente denominado espaço de Eilenberg–MacLane ). Por exemplo, espaços classificadores para , e são o círculo , o espaço projetivo real infinito e os espaços lente, respectivamente. Em geral, pode ser construído como o quociente , onde é um espaço contrátil sobre o qual atua livremente.

Mais genericamente, é possível associar a qualquer -módulo um sistema de coeficientes locais sobre , estendendo a identificação a um isomorfismo geral:Adem & Milgram (2004), Capítulo II.

Homologia de grupos Dualmente à construção da cohomologia de grupos, define-se a homologia de grupos: dado um -módulo , define-se como o submódulo gerado pelos elementos da forma , com e . Associa-se a o seu módulo de coinvariantes, dado pelo grupo quociente:

essa atribuição define um functor exato à direita. Seus funtores derivados à esquerda constituem, por definição, a homologia de grupos:

O functor covariante que associa a é naturalmente isomorfo ao functor que leva no produto tensorial , onde é dotado da ação trivial de . Assim, obtém-se a caracterização da homologia de grupos por meio dos funtores Tor:

A convenção de índices reflete a dualidade entre invariantes e coinvariantes: índices superiores correspondem à cohomologia e aos invariantes ; índices inferiores correspondem à homologia e aos coinvariantes .

Operacionalmente, os grupos de homologia podem ser calculados partindo-se de uma resolução projetiva do módulo trivial sobre e aplicando-se termo a termo o functor para produzir o complexo de cadeias :

Os grupos são as homologias desse complexo: para .

Para certas famílias de grupos, particularmente os grupos finitos, homologia e cohomologia podem ser unificadas por meio de resoluções completas nos grupos de cohomologia de Tate.

A homologia de grupos de grupos abelianos com valores em um domínio de ideais principais está intimamente relacionada à álgebra exterior .

Grupos de cohomologia de baixa dimensão Por definição, a cohomologia de grau zero é , o submódulo dos invariantes. A primeira e a segunda cohomologias admitem interpretações algébricas diretas.

H1 O primeiro grupo de cohomologia é o quociente dos chamados homomorfismos cruzados (ou 1-cociclos), isto é, aplicações de conjuntos que satisfazem para quaisquer , pelo subgrupo dos homomorfismos cruzados principais (ou 1-cobordos), que são aplicações da forma para algum fixado.

Se a ação de sobre for trivial, a condição reduz-se a:

o grupo dos homomorfismos de grupos usuais de em , uma vez que os homomorfismos cruzados tornam-se homomorfismos ordinários e os cobordos reduzem-se identicamente à aplicação nula.

Por outro lado, considere o caso de , onde denota a estrutura não trivial de sobre o grupo aditivo dos inteiros dada por , identificando-se com . Analisando as imagens possíveis de , verifica-se que os homomorfismos cruzados são as aplicações satisfazendo e para um inteiro arbitrário . Os homomorfismos cruzados principais devem satisfazer adicionalmente para algum inteiro . Logo, um homomorfismo cruzado é principal se, e somente se, for par, donde:

com a operação de grupo dada pela adição pontual de funções.

H2 Se for um -módulo trivial, o segundo grupo de cohomologia está em correspondência biunívoca com o conjunto das extensões centrais do grupo pelo grupo aditivo de (a menos de equivalência natural). De maneira mais geral, se a ação de sobre for não trivial, classifica as classes de isomorfismo de todas as extensões de grupos

de por nas quais a conjugação por elementos de induz sobre a estrutura de -módulo prescrita.

No exemplo anterior sobre , tem-se , visto que a única extensão correspondente de por com a referida ação não trivial é o grupo diedral infinito, que é uma extensão cindida (produto semidireto), correspondendo ao elemento nulo em .

Um exemplo notável de segundo grupo de cohomologia é o grupo de Brauer: ele coincide com a cohomologia do grupo de Galois absoluto de um corpo atuando sobre o grupo multiplicativo de seu fecho separável:

o qual classifica as álgebras de divisão de dimensão finita sobre .

Exemplos básicos Cohomologia de grupos de um grupo cíclico finito Para o grupo cíclico finito de ordem com gerador , o elemento no anel de grupo associado é um divisor de zero, pois seu produto pelo elemento de norma , dado por:resulta em:

Essa periodicidade permite construir uma resolução livre periódica explícitaDummit & Foote (2003), p. 801.Brown (1982), p. 35. do -módulo trivial :onde o homomorfismo de aumento é dado por:

Aplicando o functor ao complexo acima para um -módulo arbitrário , obtém-se o cálculo dos grupos de cohomologia: onde . Para os coeficientes triviais , tem-se , e , donde:

Cociclos explícitos Cociclos explícitos para a cohomologia de grupos cíclicos podem ser dados por meio da resolução em barra. Ver Proposição 2.3. Obtém-se um conjunto completo de geradores de -cociclos para ímpar pelas aplicações dadas por:para ímpar, , onde é uma raiz primitiva -ésima da unidade, é um corpo contendo tais raízes, denota a parte inteira (maior inteiro menor ou igual a ), e Para índices pares positivos, os grupos de cohomologia com coeficientes em são triviais.

Cohomologia de grupos livres