mały|Każde pole szachownicy jest oznaczone uporządkowaną parą litery i cyfry. Dlatego mówi się, że zbiór oznaczeń pól to iloczyn kartezjański () dwóch zbiorów – zbioru odpowiednich liter i zbioru odpowiednich cyfr
Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów, produkt kartezjański – działanie na dowolnej liczbie dowolnych zbiorów, definiowane na różne sposoby. W najprostszym przypadku iloczyn kartezjański to działanie dwuargumentowe opisujące zbiór odpowiednich par uporządkowanych – tych utworzonych z elementów wyjściowych dwóch zbiorów. Symbolicznie – jeśli i są dowolnymi zbiorami, to:
gdzie oznacza spójnik „i” (koniunkcję).
Nazwa kartezjański odnosi się do Kartezjusza – matematyka, którego upamiętnia też nazwa kartezjańskiego układu współrzędnych. Taki układ to opis każdego punktu płaszczyzny uporządkowaną parą liczb rzeczywistych, nazywanych współrzędnymi. Przez to płaszczyznę można utożsamić z iloczynem kartezjańskim gdzie to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Definicje i przykłady mały|Z trójelementowych zbiorów A i B można utworzyć ich iloczyn kartezjański A×B, który ma dziewięć (9) elementów mały|Wypełniony walec (kołowy prosty) można definiować jako iloczyn kartezjański koła i odcinka. Tutaj przedstawiono powierzchnię boczną takiego walca w kartezjańskim układzie współrzędnych Działanie dla pary zbiorów Iloczyn kartezjański zbiorów i to zbiór:
Przykład: niech dane będą zbiory oraz Ich iloczyn kartezjański to: .
Uwaga: istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego: .
Jeśli i to zbiory i są podzbiorami odpowiedniej sumy zbiorów: Można to też opisać przez zbiór potęgowy: Stąd wynika, że .
Istnienie takiego zbioru wynika z aksjomatu podzbiorów, inaczej aksjomatu wyróżniania – jednego z założeń teorii mnogości ZF Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Iloczyn kartezjański i podobne konstrukcje, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 sierpnia 2023 [dostęp 2025-08-01]..
Uogólnienie na skończoną liczbę zbiorów W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych takich, że Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można to zrobić na różne sposoby: potraktować te trójki jako ciągi trójwyrazowe, czyli funkcje na zbiorze w zbiór inny sposób to definiowanie przez a zatem trójka to para par: .
Formalnie zbiór trójek jako funkcji i zbiór nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia; opisuje to bliżej jedna z dalszych sekcji.
Podobnie można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych takich, że Czwórki te można interpretować dwojako: jako funkcje z w zbiór jako pary par , wówczas iloczyn określa się jako .
Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie. Przykład: zbiór służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Uogólnienie na nieskończoną liczbę zbiorów Dla rodziny zbiorów można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji
takich że dla każdego nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów i oznacza takimi symbolami jak lub
Własności Algebraiczne mały|300px|Przykład rozdzielności iloczynu kartezjańskiego względem sumy zbiorów
Iloczyn kartezjański nie jest przemienny – w ogólności kolejność argumentów ma znaczenie Matematyka elementarna. Rachunek zbiorów, portal „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-08-01].:
Iloczyn kartezjański w ogólności nie jest też łączny — co zapisujemy jako:
Mimo to, jak wspomniano wyżej, ta niełączność nie jest istotna. Między tymi zbiorami istnieją odpowiednie bijekcje, które mają szczególny status z punktu widzenia teorii kategorii. Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów General Theory of Natural Equivalences (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 58 (1945), s. 231–294 [dostęp 2025-08-01]..
Iloczyn kartezjański ma element absorbujący – jest nim zbiór pusty :
Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy zbiorów , ich przekroju i ich różnicy Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2025-08-01].:
Kombinatoryczne Niech i będą skończonymi zbiorami. Jeśli oraz to .
Dowód tego faktu można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na Jeżeli to przy czym jest jedynym elementem zbioru Wówczas wprost z definicji Zbiór ten jest równoliczny z ponieważ przekształcenie jest bijekcją między tymi zbiorami. Zatem w tym przypadku
Ponadto, jeżeli pewna liczba ma tę własność, że dla każdego takiego, że oraz dla każdego to tę własność ma także liczba Istotnie, można przedstawić -elementowy zbiór w postaci sumy rozłącznych zbiorów Wtedy z definicji sumy zbiorów zachodzą równości
Pierwszy z tych zbiorów ma z założenia indukcyjnego elementów. Z kolei drugi ze zbiorów ma (na mocy rozumowania przeprowadzonego dla ) elementów. Ponieważ wobec rozłączności oraz zbiory te są rozłączne i sumują się do zachodzi równość To kończy dowód indukcyjny.
Zobacz też m-produkt produkt (teoria kategorii) suma prosta topologia produktowa zbiór potęgowy
Przypisy
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Direct product , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Działania na zbiorach