direita|miniaturadaimagem|alt=Expansões de Puiseux truncadas para a curva cúbica y^2 = x^3 + x^2|Expansões de Puiseux truncadas para a curva cúbica no ponto duplo . Cores mais escuras indicam mais termos.

Em matemática, as séries de Puiseux são uma generalização das séries de potências que permitem expoentes negativos e fracionários da indeterminada. Por exemplo, a série

é uma série de Puiseux na indeterminada . As séries de Puiseux foram introduzidas pela primeira vez por Isaac Newton em 1676 e redescobertas por Victor Puiseux em 1850.Puiseux (1850, 1851)

A definição de uma série de Puiseux inclui que os denominadores dos expoentes devem ser limitados. Assim, ao reduzir os expoentes a um denominador comum , uma série de Puiseux torna-se uma Série de Laurent em uma -ésima raiz da indeterminada. Por exemplo, o exemplo acima é uma série de Laurent em Como um número complexo possui raízes enésimas, uma série de Puiseux convergente tipicamente define funções em uma vizinhança de .

O teorema de Puiseux, às vezes também chamado de teorema de Newton-Puiseux, afirma que, dada uma equação polinomial com coeficientes complexos, suas soluções em , vistas como funções de , podem ser expandidas como séries de Puiseux em que são convergentes em alguma vizinhança de . Em outras palavras, cada ramo de uma curva algébrica pode ser localmente descrito por uma série de Puiseux em (ou em ao considerar ramos sobre uma vizinhança de ).

Usando terminologia moderna, o teorema de Puiseux afirma que o conjunto das séries de Puiseux sobre um corpo algebricamente fechado de característica 0 é ele próprio um corpo algebricamente fechado, chamado de corpo das séries de Puiseux. Ele é o fecho algébrico do corpo de séries de Laurent formais, que por sua vez é o corpo de frações do anel de séries de potências formais.

Definição Se é um corpo (como os números complexos), uma série de Puiseux com coeficientes em é uma expressão da forma

onde é um número inteiro positivo e é um número inteiro. Em outras palavras, as séries de Puiseux diferem das séries de Laurent por permitirem expoentes fracionários da indeterminada, desde que esses expoentes fracionários tenham um denominador limitado (aqui n). Assim como nas séries de Laurent, as séries de Puiseux permitem expoentes negativos da indeterminada, desde que esses expoentes negativos sejam limitados inferiormente (aqui por ). A adição e a multiplicação são como se espera: por exemplo,

e

Pode-se defini-las primeiro "elevando" o denominador dos expoentes a algum denominador comum e depois realizando a operação no correspondente corpo de séries de Laurent formais de .

As séries de Puiseux com coeficientes em formam um corpo, que é a união

de corpos de séries de Laurent formais em (considerada como uma indeterminada).

Isso fornece uma definição alternativa do corpo de séries de Puiseux em termos de um limite direto. Para cada inteiro positivo , seja uma indeterminada (destinada a representar ), e o corpo de séries de Laurent formais em Se divide , o mapeamento induz um homomorfismo de corpos e esses homomorfismos formam um sistema direto que tem o corpo de séries de Puiseux como limite direto. O fato de que cada homomorfismo de corpos é injetivo mostra que esse limite direto pode ser identificado com a união acima, e que as duas definições são equivalentes (a menos de um isomorfismo).

Valorização Uma série de Puiseux não nula pode ser escrita de forma única como

com A valorização

de é o menor expoente na ordem natural dos números racionais, e o coeficiente correspondente é chamado de coeficiente inicial ou coeficiente de valorização de . A valorização da série nula é

A função é uma valorização e torna a série de Puiseux um corpo valorizado, com o grupo aditivo dos números racionais como seu grupo de valorização.

Como em todos os corpos valorizados, a valorização define uma distância ultramétrica pela fórmula Para esta distância, o corpo das séries de Puiseux é um espaço métrico. A notação

expressa que uma série de Puiseux é o limite de suas somas parciais. No entanto, o corpo de séries de Puiseux não é completo; veja abaixo .

Séries de Puiseux convergentes As séries de Puiseux fornecidas pelo teorema de Newton-Puiseux são convergentes no sentido de que existe uma vizinhança de zero na qual elas convergem (excluindo-se o 0 se a valorização for negativa). Mais precisamente, seja

uma série de Puiseux com coeficientes complexos. Existe um número real , chamado de raio de convergência, tal que a série converge se for substituído por um número complexo não nulo de valor absoluto menor que , e é o maior número com essa propriedade. Uma série de Puiseux é convergente se ela tiver um raio de convergência não nulo.

Como um número complexo não nulo tem raízes enésimas, é necessário tomar certo cuidado com a substituição: uma raiz enésima específica de , digamos , deve ser escolhida. Em seguida, a substituição consiste em substituir por para cada .

A existência do raio de convergência resulta da existência semelhante para uma série de potências, aplicada a considerada como uma série de potências em

É parte do teorema de Newton-Puiseux que as séries de Puiseux fornecidas tenham um raio de convergência positivo e, portanto, definam uma função analítica (multivalorada) em alguma vizinhança de zero (possivelmente excluindo o próprio zero).

Valorização e ordem nos coeficientes Se o corpo base é ordenado, então o corpo das séries de Puiseux sobre também é naturalmente ordenado ("lexicograficamente") da seguinte forma: uma série de Puiseux não nula é declarada positiva sempre que seu coeficiente de valorização for positivo. Essencialmente, isso significa que qualquer potência racional positiva da indeterminada torna-se positiva, mas menor que qualquer elemento positivo no corpo base .

Se o corpo base é dotado de uma valorização , podemos construir uma valorização diferente no corpo das séries de Puiseux sobre definindo a valorização como onde é a valorização definida anteriormente ( é o primeiro coeficiente não nulo) e é infinitamente grande (em outras palavras, o grupo de valorização de é ordenado lexicograficamente, onde é o grupo de valorização de ). Essencialmente, isso significa que a valorização previamente definida é corrigida por uma quantidade infinitesimal para levar em conta a valorização dada no corpo base.

Teorema de Newton-Puiseux Já em 1671,Newton (1736) Isaac Newton usou implicitamente séries de Puiseux e provou o seguinte teorema para aproximar com séries as raízes de equações algébricas cujos coeficientes são funções que, por sua vez, são aproximadas por séries ou polinômios. Para este fim, ele introduziu o Polígono de Newton, que permanece sendo uma ferramenta fundamental nesse contexto. Newton trabalhou com séries truncadas, e foi apenas em 1850 que Victor Puiseux introduziu o conceito de séries de Puiseux (não truncadas) e provou o teorema que hoje é conhecido como teorema de Puiseux ou teorema de Newton-Puiseux.cf. Kedlaya (2001), introdução O teorema afirma que, dada uma equação algébrica cujos coeficientes são polinômios ou, mais genericamente, séries de Puiseux sobre um corpo de característica zero, toda solução da equação pode ser expressa como uma série de Puiseux. Além disso, a prova fornece um algoritmo para calcular essas séries de Puiseux e, ao trabalhar sobre os números complexos, as séries resultantes são convergentes.

Na terminologia moderna, o teorema pode ser reescrito como: o corpo de séries de Puiseux sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero, e o corpo de séries de Puiseux convergentes sobre os números complexos, são ambos algebricamente fechados.

Polígono de Newton

Seja

um polinômio cujos coeficientes não nulos são polinômios, séries de potências, ou até mesmo séries de Puiseux em . Nesta seção, a valorização de é o expoente mais baixo de em (A maior parte do que se segue aplica-se mais geralmente a coeficientes em qualquer anel valorizado.)

Para calcular as séries de Puiseux que são raízes de (ou seja, soluções da equação funcional ), a primeira coisa a fazer é calcular a valorização das raízes. Este é o papel do polígono de Newton.

Consideremos, em um plano cartesiano, os pontos de coordenadas O polígono de Newton de é a envoltória convexa inferior desses pontos. Ou seja, as arestas do polígono de Newton são os segmentos de reta unindo dois desses pontos, de forma que todos esses pontos não estejam abaixo da reta que suporta o segmento (abaixo significa, como usual, relativo ao valor da segunda coordenada).

Dada uma série de Puiseux de valorização , a valorização de é pelo menos o mínimo dos números e é igual a esse mínimo se esse mínimo for alcançado para apenas um . Portanto, para ser uma raiz de , o mínimo deve ser alcançado pelo menos duas vezes. Ou seja, deve haver dois valores e de tais que e para todo .

Isso é, e devem pertencer a uma aresta do polígono de Newton, e

deve ser o oposto da inclinação desta aresta. Este é um número racional assim que todas as valorizações são números racionais, e esta é a razão para introduzir expoentes racionais nas séries de Puiseux.

Em resumo, a valorização de uma raiz de deve ser o oposto da inclinação de uma aresta do polígono de Newton.

O coeficiente inicial de uma solução em série de Puiseux de pode ser facilmente deduzido. Seja o coeficiente inicial de ou seja, o coeficiente de em Seja uma inclinação do polígono de Newton, e o termo inicial de uma solução em série de Puiseux correspondente de Se nenhum cancelamento ocorresse, então o coeficiente inicial de seria onde é o conjunto dos índices tais que pertence à aresta de inclinação do polígono de Newton. Portanto, para ter uma raiz, o coeficiente inicial deve ser uma raiz não nula do polinômio

(esta notação será usada na próxima seção).

Em resumo, o polígono de Newton permite um cálculo fácil de todos os possíveis termos iniciais das séries de Puiseux que são soluções de

A prova do teorema de Newton-Puiseux consistirá em começar a partir desses termos iniciais para calcular recursivamente os próximos termos das soluções da série de Puiseux.

Prova construtiva Suponhamos que o primeiro termo de uma solução em série de Puiseux de foi calculado pelo método da seção anterior. Resta calcular Para isso, definimos e escrevemos a expansão de Taylor de em

Este é um polinômio em cujos coeficientes são séries de Puiseux em . Pode-se aplicar a ele o método do polígono de Newton e iterar para obter os termos da série de Puiseux, um após o outro. Mas é necessário algum cuidado para garantir que e mostrar que se obtém uma série de Puiseux, ou seja, que os denominadores dos expoentes de permanecem limitados.

A derivação em relação a não altera a valorização em dos coeficientes; ou seja,

e a igualdade ocorre se e somente se onde é o polinômio da seção anterior. Se é a multiplicidade de como raiz de resulta que a desigualdade é uma igualdade para Os termos tais que podem ser esquecidos no que diz respeito às valorizações, já que e implicam

Isso significa que, para iterar o método do polígono de Newton, pode-se e deve-se considerar apenas a parte do polígono de Newton cujas primeiras coordenadas pertencem ao intervalo Dois casos devem ser considerados separadamente e serão o tema das próximas subseções: o chamado caso ramificado, onde , e o caso regular, onde .

Caso ramificado A maneira de aplicar recursivamente o método do polígono de Newton foi descrita anteriormente. Como cada aplicação do método pode aumentar, no caso ramificado, os denominadores dos expoentes (valorizações), resta provar que se atinge o caso regular após um número finito de iterações (caso contrário, os denominadores dos expoentes da série resultante não seriam limitados, e esta série não seria uma série de Puiseux). Aliás, também será provado que se obtém exatamente tantas soluções em séries de Puiseux quanto o esperado, ou seja, o grau de em .