Em matemática, uma série de Madhava é uma das três expansões em séries de Taylor para as funções seno, cosseno e arco-tangente descobertas no século XIV ou XV em Kerala, Índia, pelo matemático e astrônomo Madhava de Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425) ou por seus seguidores na escola de astronomia e matemática de Kerala.; ; Usando notação moderna, estas séries são:
Todas as três séries foram posteriormente descobertas de forma independente na Europa do século XVII. As séries para seno e cosseno foram redescobertas por Isaac Newton em 1669,Newton (1669) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas circulou como um manuscrito, mas não foi publicado até 1711. Para contexto, veja:.Leibniz posteriormente incluiu as séries para seno e cosseno em Leibniz (1676) De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbola cujus corollarium est trigonometria sine tabulis, que só foi finalmente publicado em 1993. No entanto, ele havia recebido as séries de seno e cosseno de Newton por Henry Oldenburg em 1675 e não reivindicou tê-las descoberto. Veja: e a série para arco-tangente foi redescoberta por James Gregory em 1671 e Gottfried Leibniz em 1673,Gregory recebeu uma carta de John Collins incluindo as séries de seno e cosseno de Newton no final de 1670. Ele descobriu a Série de Taylor geral e enviou uma carta agora famosa de volta a Collins em 1671 incluindo várias séries específicas, incluindo a do arco-tangente. Veja . e é convencionalmente chamada de Série de Gregory. O valor específico pode ser usado para calcular a constante do círculo , e a série do arco-tangente para é convencionalmente chamada de série de Leibniz.
Em reconhecimento à prioridade de Madhava, na literatura recente estas séries são por vezes chamadas de série de Madhava-Newton,Por exemplo: série de Madhava-Gregory,Por exemplo: ; ; ou série de Madhava-LeibnizPor exemplo: ; (entre outras combinações).Por exemplo, Série de Madhava-Gregory-Leibniz: Série de Madhava-Leibniz-Gregory: Série de Nilakantha-Gregory: Fórmula de Gregory-Leibniz-Nilakantha:
Nenhuma obra sobrevivente de Madhava contém declarações explícitas sobre as expressões que agora são chamadas de séries de Madhava. No entanto, nos escritos dos matemáticos posteriores da escola de Kerala, Nilakantha Somayaji (1444 – 1544) e Jyeshthadeva (c. 1500 – c. 1575), pode-se encontrar uma atribuição inequívoca dessas séries a Madhava. Essas obras posteriores também incluem provas e comentários que sugerem como Madhava pode ter chegado às séries.
As traduções dos versos relevantes conforme apresentados no comentário Yuktidipika de Tantrasamgraha (também conhecido como Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar (c. 1500 - 1560 d.C.) são reproduzidas abaixo. Estas são então renderizadas em notações matemáticas atuais.
Série do seno de Madhava
Nas próprias palavras de Madhava
A série do seno de Madhava é declarada nos versos 2.440 e 2.441 no comentário Yukti-dipika (Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar. Segue uma tradução dos versos.
Multiplique o arco pelo quadrado do arco, e tome o resultado repetindo isso (qualquer número de vezes). Divida pelos quadrados dos números pares sucessivos (de tal modo que o atual seja multiplicado pelo anterior) aumentados por esse número e multiplicados pelo quadrado do raio. Coloque o arco e os sucessivos resultados assim obtidos um abaixo do outro, e subtraia cada um do que está acima. Estes juntos dão a jiva [seno], como reunidos no verso que começa com "vidvan" etc.
Renderização em notações modernas
Seja r o raio do círculo e s o comprimento do arco.
Os seguintes numeradores são formados primeiro:
Estes são então divididos pelas quantidades especificadas no verso.
Coloque o arco e os sucessivos resultados assim obtidos um abaixo do outro, e subtraia cada um do que está acima para obter a jiva:
Transformação para a notação atual
Seja θ o ângulo subtendido pelo arco s no centro do círculo. Então s = r θ e jiva = r sen θ. Substituindo estes na última expressão e simplificando, obtemos
que é a expansão infinita em série de potências da função seno.
Reformulação de Madhava para computação numérica A última linha no verso ′como reunidos no verso que começa com "vidvan" etc.′ é uma referência a uma reformulação da série introduzida pelo próprio Madhava para torná-la conveniente para cálculos fáceis para valores especificados do arco e do raio. Para tal reformulação, Madhava considera um círculo cujo quarto mede 5400 minutos (digamos C minutos) e desenvolve um esquema para os cálculos fáceis das jivas dos vários arcos de tal círculo. Seja R o raio de um círculo cujo quarto mede C. Madhava já havia calculado o valor de usando sua fórmula de série para . Usando este valor de , a saber 3,1415926535922, o raio R é calculado da seguinte forma: Então
R = 2 × 5400 / = 3437,74677078493925 = 3437 minutos de arco 44 segundos de arco 48 sexagésimos de um segundo de arco = 3437′ 44′′ 48′′′.
A expressão de Madhava para jiva correspondente a qualquer arco s de um círculo de raio R é equivalente ao seguinte:
Madhava então calcula os seguintes valores:
N.º Expressão Valor Valor no Sistema Katapayadi 1 2220′ 39′′ 40′′′ ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung 2 273′ 57′′ 47′′′ sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro 3 16′ 05′′ 41′′′ ka-vī-śa-ni-ca-ya 4 33′′ 06′′′ tu-nna-ba-la 5 44′′′ vi-dvān
A jiva agora pode ser calculada usando o seguinte esquema:
Isso dá uma aproximação da jiva por seu polinômio de Taylor de 11ª ordem. Envolve apenas uma divisão, seis multiplicações e cinco subtrações. Madhava prescreve este esquema computacional numericamente eficiente nas seguintes palavras (tradução do verso 2.437 em Yukti-dipika):
vi-dvān, tu-nna-ba-la, ka-vī-śa-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung . Multiplique sucessivamente esses cinco números em ordem pelo quadrado do arco dividido por um quarto da circunferência (5400′), e subtraia do número seguinte. (Continue este processo com o resultado assim obtido e o número seguinte.) Multiplique o resultado final pelo cubo do arco dividido por um quarto da circunferência e subtraia do arco.
Série do cosseno de Madhava
Nas próprias palavras de Madhava
A série do cosseno de Madhava é declarada nos versos 2.442 e 2.443 no comentário Yukti-dipika (Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar. Segue uma tradução dos versos.
Multiplique o quadrado do arco pela unidade (isto é, o raio) e tome o resultado repetindo isso (qualquer número de vezes). Divida (cada um dos numeradores acima) pelo quadrado dos números pares sucessivos diminuído por esse número e multiplicado pelo quadrado do raio. Mas o primeiro termo é (agora) (aquele que é) dividido pelo dobro do raio. Coloque os sucessivos resultados assim obtidos um abaixo do outro e subtraia cada um do que está acima. Estes juntos dão a śara como reunidos no verso que começa com stena, stri, etc.
Renderização em notações modernas
Seja r o raio do círculo e s o comprimento do arco.
Os seguintes numeradores são formados primeiro:
Estes são então divididos pelas quantidades especificadas no verso.
Coloque o arco e os sucessivos resultados assim obtidos um abaixo do outro, e subtraia cada um do que está acima para obter a śara:
Transformação para a notação atual
Seja θ o ângulo subtendido pelo arco s no centro do círculo. Então s = rθ e śara = r(1 − cos θ). Substituindo estes na última expressão e simplificando, obtemos
que fornece a expansão infinita em série de potências da função cosseno.
Reformulação de Madhava para computação numérica
A última linha no verso ′como reunidos no verso que começa com stena, stri, etc.′ é uma referência a uma reformulação introduzida pelo próprio Madhava para tornar a série conveniente para cálculos fáceis para valores especificados do arco e do raio. Como no caso da série do seno, Madhava considera um círculo cujo quarto mede 5400 minutos (digamos C minutos) e desenvolve um esquema para os cálculos fáceis das śaras dos vários arcos de tal círculo. Seja R o raio de um círculo cujo quarto mede C. Então, como no caso da série do seno, Madhava obtém R = 3437′ 44′′ 48′′′.
A expressão de Madhava para śara correspondente a qualquer arco s de um círculo de raio R é equivalente ao seguinte:
Madhava então calcula os seguintes valores:
N.º Expressão Valor Valor no Sistema Katapayadi 1 4241′ 09′′ 00′′′ u-na-dha-na-krt-bhu-re-va 2 872′ 03′′ 05 ′′′ mī-nā-ngo-na-ra-sim-ha 3 071′ 43′′ 24′′′ bha-drā-nga-bha-vyā-sa-na 4 03′ 09′′ 37′′′ su-ga-ndhi-na-ga-nud 5 05′′ 12′′′ strī-pi-śu-na 6 06′′′ ste-na
A śara agora pode ser calculada usando o seguinte esquema:
Isso dá uma aproximação da śara por seu polinômio de Taylor de 12ª ordem. Isto também envolve apenas uma divisão, seis multiplicações e cinco subtrações. Madhava prescreve este esquema computacional numericamente eficiente nas seguintes palavras (tradução do verso 2.438 em Yukti-dipika):
Os seis stena, strīpiśuna, sugandhinaganud, bhadrāngabhavyāsana, mīnāngonarasimha, unadhanakrtbhureva. Multiplique pelo quadrado do arco dividido por um quarto da circunferência e subtraia do próximo número. (Continue com o resultado e o próximo número.) O resultado final será a utkrama-jya (seno verso de R).
Série do arco-tangente de Madhava
Nas próprias palavras de Madhava
A série do arco-tangente de Madhava é declarada nos versos 2.206 a 2.209 no comentário Yukti-dipika (Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar. Uma tradução dos versos é dada abaixo. Jyeshthadeva também deu uma descrição desta série em Yuktibhasa.
Agora, exatamente pelo mesmo argumento, a determinação do arco de um seno desejado pode ser (feita). Isso é como se segue: O primeiro resultado é o produto do seno desejado e o raio dividido pelo cosseno do arco. Quando se fez do quadrado do seno o multiplicador e do quadrado do cosseno o divisor, agora um grupo de resultados deve ser determinado a partir dos resultados (anteriores) começando pelo primeiro. Quando estes são divididos em ordem pelos números ímpares 1, 3, e assim por diante, e quando se subtraiu a soma dos resultados pares da soma dos ímpares, esse deve ser o arco. Aqui o menor entre o seno e o cosseno deve ser considerado como o (seno) desejado. Do contrário, não haveria término dos resultados, mesmo se repetidamente (calculados).
Por meio do mesmo argumento, a circunferência pode ser calculada de outra maneira também. É a (seguinte): O primeiro resultado deve ser a raiz quadrada do quadrado do diâmetro multiplicado por doze. Daí em diante, o resultado deve ser dividido por três (em) cada (caso) sucessivo. Quando estes são divididos em ordem pelos números ímpares, começando por 1, e quando se subtraiu os resultados (pares) da soma dos ímpares, (essa) deve ser a circunferência.
Renderização em notações modernas
Seja s o arco do seno desejado (jya ou jiva) y. Seja r o raio e x o cosseno (kotijya).
O primeiro resultado é . Forme o multiplicador e o divisor . Forme o grupo de resultados:
Estes são divididos em ordem pelos números 1, 3, e assim por diante:
Soma dos resultados de numeração ímpar:
Soma dos resultados de numeração par:
O arco é agora dado por
Transformação para a notação atual
Seja θ o ângulo subtendido pelo arco s no centro do círculo. Então s = rθ, x = kotijya = r cos θ e y = jya = r sen θ. Então y / x = tan θ. Substituindo estes na última expressão e simplificando, obtemos . Sendo tan θ = q, finalmente temos
Outra fórmula para a circunferência de um círculo
A segunda parte do texto citado especifica outra fórmula para o cálculo da circunferência c de um círculo de diâmetro d. Esta é a seguinte.