Na matemática, o cálculo no espaço euclidiano é uma generalização do cálculo de funções de uma ou várias variáveis para o cálculo de funções no espaço euclidiano , bem como em espaços vetoriais reais de dimensão finita. Esse ramo também é conhecido como cálculo avançado, sobretudo nos Estados Unidos. É similar ao cálculo multivariável, porém mais sofisticado pelo uso extensivo da álgebra linear (e de elementos da análise funcional). Abrange também conceitos da geometria diferencial, tais como formas diferenciais e o teorema de Stokes. O emprego sistemático da álgebra linear permite ainda uma extensão natural do cálculo multivariável para o cálculo em espaços de Banach ou espaços vetoriais topológicos. O cálculo no espaço euclidiano atua igualmente como um modelo local para o cálculo em variedades, a teoria de funções sobre variedades diferenciáveis.
Noções básicas
Funções de uma variável real Esta seção apresenta uma breve revisão da teoria de funções no cálculo de uma variável.
Uma função com valores reais é contínua em se for aproximadamente constante nas vizinhanças de ; isto é:
Em contrapartida, a função é diferenciável em se for aproximadamente linear próximo de ; ou seja, se existir um número real tal que:
(Por simplicidade, suponha . Então a expressão acima significa que , onde tende a zero mais rápido do que tende a zero e, nesse sentido, comporta-se assintoticamente como .)
O número depende de e é denotado por . Se é diferenciável em um intervalo aberto e se é uma função contínua em , então é dita uma função de classe . Mais genericamente, é denominada uma função de classe se sua derivada for de classe . O teorema de Taylor estabelece que uma função de classe é precisamente aquela que pode ser aproximada localmente por um polinômio de grau .
Se é uma função de classe e para algum , então ou ; isto é, é estritamente crescente ou estritamente decrescente em algum intervalo aberto contendo . Em particular, a restrição é bijetiva para algum intervalo aberto que contém . O teorema da função inversa garante então que a função inversa é diferenciável em com derivada: para ,
Derivada de uma aplicação e regra da cadeia Para funções definidas no plano ou, mais genericamente, em um espaço euclidiano , torna-se necessário considerar funções com valores vetoriais ou matriciais. É conceitualmente vantajoso formular tais conceitos de maneira invariante (livre de coordenadas). As derivadas dessas aplicações em um ponto são, portanto, vetores ou transformações lineares, e não números reais.
Seja uma aplicação de um subconjunto aberto em um subconjunto aberto . Diz-se que a aplicação é diferenciável em um ponto se existir uma transformação linear (necessariamente única) , denominada a derivada de em , tal que:
onde representa a transformação linear aplicada ao vetor . Se é diferenciável em , então é contínua em , pois: quando .
Assim como no caso univariável, tem-se:
A demonstração é estritamente análoga à do caso univariável. Com efeito, denotando , tem-se:
Como é diferenciável em , o segundo termo à direita tende a zero quando . Quanto ao primeiro termo, ele pode ser expresso como:
Pelo argumento que estabelece a continuidade de em , nota-se que é limitado. Ademais, quando , pela continuidade de em . Logo, o primeiro termo também tende a zero quando pela diferenciabilidade de em .
Uma aplicação é dita continuamente diferenciável ou de classe se for diferenciável em todo o seu domínio e as derivadas variarem continuamente; ou seja, a aplicação é contínua.
Como transformação linear, é representada por uma matriz de ordem , denominada a matriz jacobiana de em :
Tomando como , onde é um escalar real e é o -ésimo vetor da base canônica, constata-se que a diferenciabilidade de em implica:
onde denota a -ésima função-componente de . Isto é, cada componente de é diferenciável em com relação a cada variável com a derivada parcial . Em termos de matrizes jacobianas, a regra da cadeia assume a forma matricial ; ou seja, sendo ,
que é a formulação clássica das derivadas parciais na regra da cadeia.
Uma recíproca parcial é válida: se todas as derivadas parciais existirem e forem contínuas em um aberto, então é continuamente diferenciável. Esse resultado decorre da desigualdade do valor médio:
(Essa versão da desigualdade do valor médio decorre do resultado aplicado à função ; ver .)
Com efeito, seja . Observa-se que, se , então:
Por simplicidade, suponha (o argumento geral segue por indução). Então, pela desigualdade do valor médio com a norma de operador ,
o que implica , assegurando a diferenciabilidade.
Exemplo: Seja o conjunto de todas as matrizes quadradas reais invertíveis de ordem . Nota-se que pode ser identificado como um subconjunto aberto de com coordenadas . Considere a função inversão matricial definida em . Para inferir sua derivada, assuma temporariamente que seja diferenciável e considere a curva , onde denota a exponencial de uma matriz. Aplicando a regra da cadeia a , obtém-se: . Avaliando em , decorre: . Verifica-se analiticamente que:
Como a norma de operador é equivalente à norma euclidiana em , conclui-se que é diferenciável. Por fim, da expressão de , vê-se que as derivadas parciais de são de classe (suaves); logo, é uma aplicação suave.
Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor Se é diferenciável, onde é um aberto, suas derivadas induzem uma aplicação , onde representa o espaço das transformações lineares. Se for diferenciável, sua derivada define . O contradomínio de pode ser naturalmente identificado com o espaço das aplicações bilineares através do isomorfismo:
onde , cuja bijeção inversa é dada por . Em geral, a -ésima derivada é uma aplicação de no espaço de aplicações -multilineares .
Assim como é representada por uma matriz jacobiana, no caso escalar , a forma bilinear é representada por uma matriz denominada matriz hessiana de em : a matriz quadrada de ordem tal que , onde o parêntese denota o produto interno canônico de . Essa matriz nada mais é do que a matriz jacobiana de , e seus elementos são dados por .
Se existir e for contínua, a matriz é uma matriz simétrica, fato conhecido como o teorema da simetria das segundas derivadas. O resultado decorre da aplicação reiterada da desigualdade do valor médio. Para quaisquer vetores :
o que implica:
Sendo o operador de diferenças finitas comutativo, o lado direito é simétrico em relação a , logo . Por indução, se é de classe , a aplicação -multilinear é simétrica, o que estabelece a comutatividade da ordem das derivadas parciais.
A expansão em série de Taylor com resto integral decorre então da integração por partes:
Exemplo: Seja um operador linear no espaço vetorial das funções suaves em de decaimento rápido (o espaço de Schwartz), onde para quaisquer multi-índices . Para cada , a fórmula de Taylor permite escrever:
com , onde é uma função suave com suporte compacto satisfazendo . Se comuta com operadores de multiplicação por coordenadas (), então: . Avaliando em , obtém-se , isto é, atua como um operador de multiplicação por uma função (). Se, adicionalmente, comuta com diferenciações parciais, conclui-se que é constante, operando como multiplicação escalar. Esse método fornece uma base formal para demonstrar a fórmula de inversão de Fourier.
Recíprocas parciais da fórmula de Taylor são fornecidas pelo lema de Borel e pelo teorema de extensão de Whitney.
Teorema da função inversa e teorema da submersão
Uma bijeção de classe cuja inversa também é de classe denomina-se um -difeomorfismo. Portanto, o teorema afirma que uma aplicação cuja diferencial é invertível é um difeomorfismo local em torno do ponto.
O teorema da função implícita estabelece: dada uma aplicação , se , é de classe em uma vizinhança de e a derivada parcial é invertível, então existem vizinhanças de e de e uma única aplicação diferenciável tal que para todo . Esse resultado é uma consequência do teorema da função inversa, assim como o teorema da submersão.
Funções integráveis em espaços euclidianos Uma partição de um intervalo fechado é uma sequência finita de pontos . Uma partição de um retângulo fechado (produto cartesiano de intervalos) em é definida pelas partições dos lados de ; isto é, se , então , onde cada é uma partição de .
Dada uma função limitada , define-se a soma de Riemann superior associada como:
onde: é um sub-retângulo elementar da partição , ou seja, ; O volume de corresponde ao volume euclidiano padrão: . A soma de Riemann inferior é definida de modo análogo, substituindo-se o supremo pelo ínfimo. A função é dita integrável à Riemann se for limitada e se:
Nesse caso, o valor comum é denotado por .
Diz-se que um subconjunto de tem medida nula (no sentido de Lebesgue) se, para todo , existir uma cobertura finita ou enumerável por retângulos tal que .
O critério de integrabilidade de Lebesgue–Riemann estabelece:
A integração iterada é regida pelo teorema de Fubini:
Em particular, a ordem de integração entre as variáveis pode ser permutada livremente.
Se é um subconjunto aberto limitado e uma função em , define-se , onde é um retângulo fechado que contém e é a função indicadora de , desde que a função resultante seja integrável.
Integral de superfície Se uma superfície limitada é parametrizada por uma aplicação regular com domínio em uma região plana , a integral de superfície de uma função escalar sobre é definida como:
Se for um campo vetorial, o fluxo através de é expresso por:
onde denota o vetor normal unitário exterior a . Sendo , segue que:
Análise vetorial
Vetores tangentes e campos vetoriais Seja uma curva diferenciável. O vetor tangente à curva em é o vetor velocidade associado ao ponto , cujas coordenadas são dadas por: .
Por exemplo, se () parametriza uma hélice circular, o vetor tangente em é:
Se é uma subvariedade diferenciável (como uma curva ou superfície), o espaço tangente a em um ponto é o subespaço vetorial formado pelos vetores tangentes em a todas as curvas diferenciáveis tais que .
Um campo vetorial em é uma atribuição que associa a cada ponto um vetor tangente , de modo que as componentes variem de forma suave.
Formas diferenciais A noção dual à de campo vetorial é a de forma diferencial. Dado um subconjunto aberto , uma 1-forma diferencial é uma seção suave que associa a cada ponto um funcional linear sobre o espaço tangente . Para uma função suave , define-se a 1-forma diferencial por:
onde é a derivada direcional de na direção do vetor em . Em coordenadas cartesianas locais, , formando a base dual da base canônica de . Assim, qualquer 1-forma diferencial pode ser expressa de maneira única como:
para certas funções suaves . Mais geralmente, uma -forma diferencial associa suavemente a cada ponto um elemento do -ésimo produto exterior do espaço cotangente . Em particular, uma 0-forma é simplesmente uma função suave. Toda -forma escreve-se univocamente como:
onde denota o produto exterior alternante (produto wedge).
A operação de diferenciação exterior estende o operador diferencial a formas de qualquer grau:
A derivada exterior atua sobre formas de grau superior satisfazendo a regra de Leibniz graduada:
onde é uma -forma.
Uma propriedade algébrica central da derivada exterior é a nilpotência:
isto é, para qualquer forma , o que consubstancia a contrapartida geométrica da comutatividade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz).
Bordo e orientação Um círculo plano pode ser orientado nos sentidos horário ou anti-horário. Matematicamente, uma subvariedade de dimensão é orientável se admitir uma cobertura por cartas locais cujas transformações de coordenadas (jacobianos de transição) possuam determinante estritamente positivo em todas as interseções. Superfícies como a fita de Möbius não são orientáveis.
A existência de uma forma de volume global permite fixar univocamente uma orientação contínua sobre a variedade.
Integração de formas diferenciais