miniatura|upright=1.1|Óptica hamiltoniana — raios e frentes de onda A analogia óptico-mecânica de Hamilton (também denominada analogia óptica-mecânica de Hamilton) é um paralelo conceitual entre as trajetórias na mecânica clássica e as frentes de onda na óptica, introduzido por William Rowan Hamilton por volta de 1831.Hamilton, W.R., (1834). Pode ser compreendida como o elo conceitual que une o princípio de Huygens–Fresnel da óptica ao princípio de Maupertuis da mecânica.Kemble, E.C. (1937), pp. 7–10.Lanczos, C. (1949/1970). Lanczos escreveu na p. 136: "[Maupertuis] ... apontou assim para aquela notável analogia entre fenômenos ópticos e mecânicos que fora observada muito antes por Johann Bernoulli e que mais tarde foi plenamente desenvolvida na engenhosa teoria óptico-mecânica de Hamilton. Essa analogia desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento da mecânica ondulatória moderna."Synge, J.L. (1954). Na p. 2, Synge assinala: "... a analogia entre a mecânica newtoniana e a óptica geométrica só se completa quando suplementamos a primeira pensando em ondas associadas às trajetórias das partículas. Essa complementação já estava presente de fato na teoria de Hamilton, uma vez que ele a formulou de maneira tão ampla a ponto de abranger tanto a teoria corpuscular quanto a ondulatória da luz, e, na primeira interpretação, suas superfícies de ação constante são as próprias ondas em questão. Assim, desde a época de Hamilton, dispomos daquilo que se poderia chamar de 'mecânica geométrica newtoniana', fundamentada no princípio de Maupertuis, , onde é expresso em termos de energia por ."Messiah, A. (1961), pp. 53–55.Arnold, V.I. (1974/1978), p. 252.
Embora Hamilton tenha descoberto a analogia em 1831, ela não encontrou aplicações práticas imediatas até que Hans Busch a utilizou para explicar a focalização de feixes de elétrons em campos eletromagnéticos em 1925. Segundo Cornelius Lanczos, a analogia exerceu um papel decisivo na evolução conceitual da física quântica. Erwin Schrödinger cita expressamente a analogia logo na primeira frase do artigo em que formulou sua mecânica ondulatória.Schrödinger, E. (1926/1928), p. ix. Mais adiante, no corpo do mesmo trabalho, ele destaca: Infelizmente, essa concepção poderosa e momentosa de Hamilton foi privada, na maioria das reproduções modernas, de suas belas vestes como um acessório supérfluo, em favor de uma representação mais descolorida da correspondência analítica.Schrödinger, E. (1926/1928), p. 13
As formulações quantitativas e analíticas fundamentadas nessa correspondência empregam a equação de Hamilton–Jacobi; reciprocamente, a analogia proporciona um caminho alternativo e mais intuitivo para a introdução da equação de Hamilton–Jacobi no estudo da dinâmica analítica. A relação de ortogonalidade entre as trajetórias mecânicas (análogas aos raios da óptica geométrica) e as frentes de onda ópticas (características de uma equação de onda completa), decorrente do princípio variacional, conduz diretamente às equações diferenciais correspondentes.
A analogia de Hamilton A propagação da luz pode ser descrita em termos de raios e de frentes de onda no espaço físico tridimensional ordinário. As frentes de onda são superfícies bidimensionais curvas; os raios ópticos são curvas unidimensionais. A analogia de Hamilton resume-se a duas interpretações físicas distintas para uma mesma representação geométrica: na interpretação óptica, as linhas que delimitam as frentes de onda correspondem a superfícies de fase constante, ao passo que as linhas ortogonais a elas representam os raios da óptica geométrica; na interpretação mecânica, as superfícies de onda denotam valores constantes de ação mecânica derivados da aplicação do princípio de Hamilton ao movimento, e as curvas ortogonais representam as trajetórias efetivas descritas pelas partículas.
A ortogonalidade entre frentes de onda e raios ópticos (ou entre superfícies de ação constante e trajetórias mecânicas) permite calcular uma família de curvas a partir do conhecimento da outra. Essa propriedade explica, por exemplo, como a fórmula de difração de Kirchhoff consegue prever um fenômeno tipicamente ondulatório — a difração — empregando unicamente o traçado de raios da óptica geométrica. Os raios traçados a partir da fonte luminosa até uma abertura física delimitam uma frente de onda cujos pontos atuam como centros emissores secundários; os raios subsequentes convergem para o plano do padrão de difração, onde sofrem interferência ao se combinar suas respectivas fases ópticas.
As frentes de onda e os raios ópticos (ou as superfícies de ação e as trajetórias mecânicas) constituem entidades duais vinculadas pela ortogonalidade geométrica: Por um lado, um raio óptico pode ser concebido como a órbita espacial de um corpúsculo de luz que perfura sucessivamente as frentes de onda, definindo a trajetória cinemática da partícula; Por outro lado, uma frente de onda pode ser interpretada como uma superfície de nível de uma determinada grandeza física — como a intensidade do campo elétrico, a pressão hidrostática, a densidade de partículas, a fase oscilatória ou uma amplitude de probabilidade. Sob esse enfoque contínuo, a interpretação corpuscular dos raios torna-se puramente subsidiária.Arnold, V.I. (1974/1978), p. 250.
Princípio de Huygens e princípio de Fermat A analogia óptico-mecânica de Hamilton relaciona-se diretamente com o princípio de Fermat e, consequentemente, com o princípio de Huygens–Fresnel. O princípio de Fermat estabelece que o caminho percorrido pelos raios entre frentes de onda sucessivas minimiza o tempo de trânsito óptico; o conceito geométrico de frentes de onda propagantes, por sua vez, decorre da envoltória das ondas secundárias postulada por Huygens.
Princípio de Huygens estendido Extrapolando o espaço tridimensional físico ordinário, é possível formular a analogia em um espaço de configurações abstrato de dimensão superior (como um espaço de dimensão para um sistema de partículas). Nesse espaço generalizado, as trajetórias mecânicas continuam a ser representadas por curvas unidimensionais, enquanto as frentes de onda convertem-se em hipersuperfícies de dimensão . Essa formulação estendida permite descrever a evolução temporal de sistemas dinâmicos complexos de múltiplos corpos acoplados.
Limite clássico da equação de Schrödinger Albert Messiah examinou o limite clássico da equação de Schrödinger identificando nele uma manifestação direta da analogia óptica. As trajetórias mecânicas das partículas revelam-se estritamente ortogonais às superfícies de fase quântica constante. Messiah observou: "Na linguagem da óptica, estas últimas são as frentes de onda, e as trajetórias das partículas são os raios. Portanto, a aproximação clássica é equivalente à aproximação da óptica geométrica: reencontramos, como consequência direta da equação de Schrödinger, o postulado básico da teoria das ondas de matéria."Messiah, A. (1961), pp. 224–225.
História A analogia óptico-mecânica de Hamilton exerceu papel decisivo no desenvolvimento teórico elaborado por Erwin Schrödinger, um dos pioneiros da mecânica quântica. A primeira seção de seu trabalho seminal de dezembro de 1926 intitula-se "A analogia hamiltoniana entre a mecânica e a óptica".Schrödinger, E. (1926), p. 1049. Do mesmo modo, a primeira das quatro conferências que ministrou sobre mecânica ondulatória em 1928 intitula-se "Derivação da ideia fundamental da mecânica ondulatória a partir da analogia de Hamilton entre a mecânica ordinária e a óptica geométrica".Schrödinger, E. (1928), p. 1.
Em uma comunicação breve publicada em 1923, Louis de Broglie observou: "A dinâmica precisa passar pela mesma evolução pela qual passou a óptica quando a teoria ondulatória substituiu a óptica puramente geométrica."de Broglie, L. (1923). Em sua tese de doutorado de 1924, embora de Broglie não tenha empregado expressamente o termo "analogia óptico-mecânica", registrou em sua introdução:de Broglie, L. (1924). ... um único princípio, o de Maupertuis, e mais tarde sob outra forma como o princípio da menor ação de Hamilton ... o princípio de Fermat ..., que hoje em dia é habitualmente denominado princípio da menor ação. ... Huygens propôs uma teoria ondulatória da luz, enquanto Newton, apoiando-se em uma analogia com a dinâmica do ponto material por ele criada, desenvolveu uma teoria corpuscular — a chamada 'teoria da emissão' —, que lhe permitiu inclusive explicar, ainda que mediante hipóteses artificiais, efeitos hoje considerados ondulatórios (como os anéis de Newton).
Na avaliação de Léon Rosenfeld, colaborador próximo de Niels Bohr: "... Schrödinger [foi] inspirado pela bela comparação estabelecida por Hamilton entre a mecânica clássica e a óptica geométrica..."Rosenfeld, L. (1971/1979), p. 286.
O primeiro manual em língua inglesa dedicado à mecânica ondulatóriaJammer, M. (1966), p. 366. reservou o segundo capítulo ao tema "A mecânica ondulatória em relação à mecânica ordinária", afirmando: "... de Broglie e Schrödinger transformaram essa falsa analogia em uma analogia verdadeira ao introduzir a unidade ou medida natural de ação, ... Devemos agora aprofundar a teoria de Hamilton, pois, uma vez apreendido seu significado real, o passo rumo à mecânica ondulatória é muito curto — na verdade, em retrospecto, parece quase sugerir-se espontaneamente."Biggs, H.F. (1927), pp. 50, 52.
De acordo com a obra de Frenkel: "A primeira parte do nosso problema, a saber, o estabelecimento de um sistema de equações de primeira ordem que satisfaça a condição de simetria do espaço-tempo, pode ser resolvida de maneira muito simples com o auxílio da analogia entre a mecânica e a óptica, a qual constituiu o ponto de partida para o desenvolvimento da mecânica ondulatória e que ainda pode ser empregada — com as devidas ressalvas — como fonte de inspiração."Frenkel, J. (1934), p. 260.
Posteriormente, o conceito foi estendido matematicamente para abranger regimes físicos com dependência explícita do comprimento de onda.
Óptica, oceanografia física e mecânica quântica A correspondência formal entre a óptica, a oceanografia física (dinâmica de ondas de gravidade superficiais) e a mecânica quântica pode ser sintetizada em três patamares analíticos: A primeira linha reúne as equações de onda completas de cada ramo: a equação da onda eletromagnética, a equação diferencial parcial para a elevação da superfície livre da água em águas rasas e a equação de Schrödinger; A segunda linha descreve a aproximação WKB de primeira ordem (comportamento da fase para variações lentas de amplitude), gerando respectivamente a equação eiconal da óptica, a equação eiconal das ondas oceânicas e a equação de Hamilton–Jacobi; A terceira linha descreve a aproximação WKB de segunda ordem (conservação de fluxo e intensidade), gerando a equação de transporte de intensidade na óptica,Zuo, C.; Li, J.; Sun, J.; Fan, Y.; Zhang, J.; Lu, L.; Zhang, R.; Wang, B.; Huang, L.; Chen, Q. (2020). Transport of intensity equation: a tutorial. Optics and Lasers in Engineering, 135, 106187. . a equação de conservação da ação de onda na oceanografia e a equação de continuidade da densidade de probabilidade (equivalente ao teorema de Liouville) na mecânica quântica.
Âmbito Óptica Oceanografia física Mecânica quântica Equação de onda completa Primeira ordem (fase) Segunda ordem (transporte)
Ver também Equação de Hamilton–Jacobi Princípio de Fermat Princípio de Maupertuis Aproximação WKB Dualidade onda-partícula Princípio de Huygens
Referências
Bibliografia
Arnold, V.I. (1974/1978). Mathematical Methods of Classical Mechanics, traduzido por K. Vogtmann, A. Weinstein, Springer, Berlim, . Biggs, H.F. (1927). Wave Mechanics. An Introductory Sketch, Oxford University Press, Londres. de Broglie, L. (1923). Waves and quanta, Nature 112: 540.