Na álgebra comutativa, a cohomologia de André–Quillen é uma teoria de cohomologia para anéis comutativos que está intimamente relacionada ao complexo cotangente. Os três primeiros grupos de cohomologia foram introduzidos por Stephen Lichtenbaum e Michael Schlessinger (1967) e são por vezes denominados funtores de Lichtenbaum–Schlessinger , e os grupos de ordem superior foram definidos de forma independente por Michel André (1974) e Daniel Quillen (1970) utilizando métodos da teoria da homotopia. Ela é acompanhada por uma teoria de homologia paralela denominada homologia de André–Quillen.
Motivação Seja um anel comutativo, seja uma -álgebra e seja um -módulo. Os grupos de cohomologia de André–Quillen são os funtores derivados do functor de derivações . Antes das definições gerais formuladas por André e Quillen, já era conhecido há muito tempo que, dados morfismos de anéis comutativos e um -módulo , existe uma sequência exata de três termos de módulos de derivações:
Essa sequência pode ser estendida para uma sequência exata de seis termos utilizando o functor Exalcomm de extensões de álgebras comutativas e para uma sequência exata de nove termos utilizando os funtores de Lichtenbaum–Schlessinger. A cohomologia de André–Quillen estende essa sequência exata ainda mais. No grau zero, ela coincide com o módulo de derivações; no primeiro grau, coincide com o Exalcomm; e no segundo grau, coincide com o functor de Lichtenbaum–Schlessinger de segundo grau.
Definição Seja uma -álgebra e seja um -módulo. Seja uma resolução simplicial cofibrante de como -álgebra. André denota o -ésimo grupo de cohomologia de sobre com coeficientes em por , enquanto Quillen denota o mesmo grupo por . O -ésimo grupo de cohomologia de André–Quillen é:
Seja o complexo cotangente relativo de sobre . Então temos as fórmulas:
Ver também Complexo cotangente Teoria da deformação Exalcomm
Bibliografia
Generalizações Cohomologia de André–Quillen de S-álgebras comutativas Homologia e cohomologia de espectros de anéis E-infinito
Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Teoria da homotopia Categoria:Teorias de cohomologia