Na matemática, o complexo cotangente é uma generalização comum do feixe cotangente, do fibrado normal e do fibrado tangente virtual associados a uma aplicação entre espaços geométricos, tais como variedades ou esquemas. Se for um morfismo de objetos algébricos ou geométricos, o complexo cotangente correspondente pode ser compreendido como uma "linearização" universal desse morfismo, cuja função principal é controlar a teoria da deformação de . Ele é construído como um objeto em uma determinada categoria derivada de feixes sobre por meio de métodos da álgebra homotópica.
Versões restritas do complexo cotangente foram formuladas inicialmente em casos particulares por diversos autores no início da década de 1960. No final dessa mesma década, Michel André e Daniel Quillen conceberam de maneira independente a definição correta para morfismos de anéis comutativos, empregando métodos simpliciais para formalizar a ideia do complexo cotangente como o functor derivado à esquerda (não abeliano) das diferenciais de Kähler. Em seguida, Luc Illusie globalizou essa formulação para o contexto geral de morfismos de topoi anelados, incorporando à teoria morfismos de espaços anelados, esquemas e espaços algébricos.
Motivação Suponha que e sejam variedades algébricas e que seja um morfismo entre elas. O complexo cotangente de é uma versão mais universal das diferenciais de Kähler relativas . A motivação mais elementar para a introdução de tal objeto decorre da sequência exata de diferenciais de Kähler associada a uma composição de morfismos. Se for outra variedade e for outro morfismo, obtém-se a sequência exata:
Em certo sentido, portanto, as diferenciais de Kähler relativas comportam-se como um functor exato à direita. (Rigorosamente, essa terminologia não se aplica de modo literal, visto que a categoria das variedades algébricas não é uma categoria abeliana e, por conseguinte, a exatidão à direita não está definida nesse contexto). De fato, antes da formulação formal do complexo cotangente, existiam diversas propostas de funtores destinados a estender essa sequência para a esquerda, tais como os funtores de Lichtenbaum–Schlessinger e os módulos de imperfeição. A maioria dessas construções era motivada por problemas da teoria da deformação.
Essa sequência é exata à esquerda se o morfismo for suave. Se admitisse um primeiro functor derivado, a exatidão à esquerda implicaria a anulação do homomorfismo de conexão, o que certamente ocorreria se o primeiro functor derivado de fosse nulo. Desse modo, era plausível conjecturar que o primeiro functor derivado de um morfismo suave se anulasse. Ademais, quando qualquer um dos funtores concebidos para estender a sequência de diferenciais de Kähler era aplicado a um morfismo suave, ele também se anulava, sugerindo que o complexo cotangente de um morfismo suave deveria ser equivalente ao feixe clássico de diferenciais de Kähler.
Outra sequência exata natural associada às diferenciais de Kähler é a sequência exata conormal. Se for uma imersão fechada com feixe de ideais , verifica-se a sequência exata:
Trata-se de uma extensão da sequência anterior: surge um novo termo à esquerda, o feixe conormal de , enquanto as diferenciais relativas se anulam devido ao fato de que toda imersão fechada é formalmente não ramificada. Se for a inclusão de uma subvariedade suave, essa sequência torna-se uma sequência exata curta. Essa propriedade indica que o complexo cotangente da inclusão de uma variedade suave deve equivaler ao feixe conormal deslocado em um grau.
Primeiros desenvolvimentos sobre complexos cotangentes Os complexos cotangentes surgiram no início da década de 1960 sob formulações preliminares múltiplas e parcialmente incompatíveis entre si, com graus crescentes de generalidade. A primeira ocorrência de funtores de homologia correlatos, no contexto restrito de extensão de corpos, foi introduzida por Cartier (1956). Posteriormente, em 1961, Alexandre Grothendieck desenvolveu uma versão precursora dos complexos cotangentes voltada à demonstração de seu teorema de Grothendieck–Riemann–Roch geral na geometria algébrica, com a finalidade de estruturar uma teoria de fibrados tangentes virtuais. Essa formulação foi descrita por Pierre Berthelot no SGA 6, Exposé VIII. Ela aplicava-se exclusivamente quando era um morfismo suavizável (isto é, um morfismo fatorável como uma imersão fechada seguida por um morfismo suave). Nesse caso, o complexo cotangente de , concebido como um objeto na categoria derivada de feixes coerentes sobre , era definido da seguinte forma: ; se for o feixe de ideais de em , então ; para todo ; a diferencial é o recuo (pullback) ao longo de da inclusão de no feixe estrutural de , seguida pela derivação universal ; todas as demais diferenciais são nulas.
Essa definição independe da escolha de , e, para um morfismo de interseção completa suavizável, esse complexo é perfeito. Além disso, se for outro morfismo de interseção completa suavizável e uma condição técnica suplementar for atendida, obtém-se um triângulo exato:
Em 1963, Grothendieck formulou uma construção mais abrangente que eliminava a exigência de que os morfismos fossem suavizáveis (aplicável também fora da geometria algébrica). Contudo, assim como a teoria de 1961, esse procedimento produzia apenas um complexo cotangente de comprimento 2, correspondendo ao truncamento do complexo completo, cuja forma geral ainda não era conhecida na época. Essa abordagem foi publicada posteriormente em Grothendieck (1968). Paralelamente, no início dos anos 1960, formulações semelhantes foram desenvolvidas de forma independente para anéis comutativos (correspondentes ao caso "local" dos esquemas afins) por Gerstenhaber e por Stephen Lichtenbaum e Michael Schlessinger. Essas teorias estendiam os complexos cotangentes até o comprimento 3, capturando informações geométricas adicionais.
Definição do complexo cotangente A definição rigorosa do complexo cotangente desenvolve-se no âmbito da álgebra homotópica. Quillen e André trabalharam no contexto de anéis comutativos simpliciais, enquanto Illusie atuou de maneira mais ampla com topoi anelados simpliciais, estruturando a teoria "global" sobre diversos tipos de espaços geométricos. Por simplicidade, analisa-se inicialmente o caso de anéis comutativos simpliciais. Sejam e anéis simpliciais, sendo uma -álgebra. Escolhe-se uma resolução de por -álgebras livres simpliciais. Tal resolução pode ser obtida utilizando o functor da -álgebra comutativa livre, que associa a cada conjunto a -álgebra livre . Para uma -álgebra , essa estrutura vem munida de uma aplicação canônica de aumento , que mapeia combinações formais de elementos de em um elemento de pela regra:
A iteração dessa construção produz uma álgebra simplicial:
onde as aplicações horizontais decorrem da composição das aplicações de aumento para as várias escolhas possíveis. Por exemplo, existem duas aplicações de aumento distintas definidas por:
procedimento este estensível recursivamente a cada álgebra livre .
A aplicação do functor de diferenciais de Kähler a gera um -módulo simplicial. O complexo total associado a esse objeto simplicial é o complexo cotangente . O morfismo induz uma aplicação do complexo cotangente em , denominada aplicação de aumento. Na categoria de homotopia de -álgebras simpliciais (ou de topoi anelados simpliciais), essa construção equivale a derivar à esquerda o functor das diferenciais de Kähler.
Dado um quadrado comutativo da forma: centro existe um morfismo de complexos cotangentes compatível com as respectivas aplicações de aumento. Esse morfismo é obtido selecionando-se uma resolução livre de por -álgebras simpliciais, digamos . Como é um objeto livre, a composição pode ser levantada para um morfismo . Aplicando a funtorialidade das diferenciais de Kähler a esse levantamento, obtém-se o morfismo desejado entre os complexos cotangentes. Em particular, dada uma cadeia de homomorfismos , produz-se a sequência:
Existe um homomorfismo de conexão canônico:
que transforma essa sequência em um triângulo exato na categoria derivada correspondente.
O complexo cotangente também pode ser formulado no contexto de qualquer categoria de modelos combinatória . Suponha que seja um morfismo em . O complexo cotangente (ou ) é um objeto na categoria dos espectros em . Um par de morfismos componíveis e induz um triângulo exato na categoria de homotopia:
Complexos cotangentes na teoria da deformação Configuração Uma das aplicações mais diretas do complexo cotangente situa-se na teoria da deformação. Considere, por exemplo, um esquema e um espessamento infinitesimal de quadrado nulo , isto é, um morfismo de esquemas cujo feixe de ideais de definição
possui a propriedade de que seu quadrado é nulo:
Um dos problemas fundamentais da teoria da deformação consiste em classificar a família de esquemas que preenchem quadrados cartesianos da forma:
Exemplos recorrentes incluem estender esquemas definidos sobre para , ou deformar esquemas definidos sobre um corpo de característica 0 para o anel de números duais , com . O complexo cotangente governa as obstruções e o espaço de soluções associados a esse problema. Ele pode ser reformulado homologicamente pela análise do conjunto de extensões do diagrama comutativo:
O conjunto de tais diagramas com núcleo é canonicamente isomórfico ao grupo abeliano:
evidenciando que o complexo cotangente classifica as deformações disponíveis. Reciprocamente, dada uma sequência exata curta da forma:
existe uma classe de obstrução associada:
cujo anulamento constitui condição necessária e suficiente para a existência de uma solução para o problema de deformação considerado. Por fim, o grupo
descreve o grupo de automorfismos infinitesimais de qualquer solução fixada do problema.
Implicações geométricas Uma das propriedades fundamentais do complexo cotangente é o fato de que, dado um morfismo de -esquemas
pode-se construir o complexo cotangente relativo como o cone do morfismo canônico:
inserindo-se no triângulo distinguido:
Essa relação constitui um dos pilares da teoria, pois assegura que as deformações do morfismo entre -esquemas são governadas por esse complexo. Em particular, rege as deformações de enquanto elemento do espaço , as deformações de para as quais admite extensão e as deformações análogas de . Esse mecanismo é basilar para a teoria de Gromov–Witten (ver abaixo), dedicada ao estudo de morfismos de curvas algébricas dotadas de gênero fixo e pontos marcados em direção a um esquema alvo .
Propriedades do complexo cotangente Mudança de base plana Sejam e duas -álgebras tais que para todo . Então existem quase-isomorfismos canônicos:
Se for uma -álgebra plana, o anulamento de para é automático. A primeira fórmula demonstra que a construção do complexo cotangente é local na base com respeito à topologia plana.
Propriedades de anulamento Seja um homomorfismo de anéis. Verificam-se as seguintes propriedades:
Se for uma localização de , então . Se for um morfismo étale, então . Se for um morfismo suave, então é quase-isomórfico a . Em particular, ele possui dimensão projetiva zero. Se for um morfismo de interseção completa local, então é um complexo perfeito com amplitude de Tor contida no intervalo . Se for um anel noetheriano, , e for gerado por uma sequência regular, então é um módulo projetivo e é quase-isomórfico a . Se for um morfismo de -álgebras perfeitas sobre um corpo perfeito de característica prima , então .
Caracterização de interseções completas locais