thumb|Diagram Minkowskiego z układami współrzędnych dwóch obserwatorów: prostokątne osie nieruchomego układu (ct, x) i nachylone osie układu poruszającego się (ct′, x′). To samo zdarzenie A otrzymuje u każdego obserwatora inny czas i inne położenie

Diagram czasoprzestrzenny – rysunek, na którym jedną oś przeznacza się na czas, a drugą na położenie w przestrzeni, dzięki czemu ruch i zdarzenia można przedstawić jako linie i punkty na płaszczyźnie. Stosuje się go przede wszystkim w szczególnej teorii względności, gdzie pozwala odczytać geometrię zjawisk takich jak dylatacja czasu czy skrócenie długości bez bezpośredniego użycia równań. W tej teorii jego najczęściej używaną odmianą jest diagram Minkowskiego. Tor obiektu w czasie tworzy na takim rysunku krzywą zwaną linią świata, a pojedynczy punkt – odpowiadający określonemu miejscu i chwili – nazywa się zdarzeniem.

Diagram Minkowskiego wprowadził Hermann Minkowski w 1908 roku. Oś czasu skaluje się na nim przez prędkość światła, tak aby promień światła biegł pod kątem 45° do osi. Na jednym rysunku nanosi się układy współrzędnych dwóch obserwatorów poruszających się względem siebie, a ich wzajemnie nachylone osie bezpośrednio pokazują względność równoczesności, dylatację czasu i skrócenie długości. Stożek świetlny dzieli przy tym czasoprzestrzeń na obszary związane i niezwiązane przyczynowo z danym zdarzeniem oraz pokazuje, dlaczego prędkość światła jest prędkością graniczną.

Poza klasycznym, asymetrycznym diagramem Minkowskiego stosuje się też symetryczny diagram Loedela, w którym oba układy są równouprawnione, oraz poglądowy diagram Epsteina. Diagram przedstawia fragment czasoprzestrzeni Minkowskiego, zwykle ograniczonej do jednego wymiaru przestrzennego.

Podstawowe pojęcia thumb|Przykładowy wykres położenia w funkcji czasu: obiekt oddala się od początku ze stałą prędkością, zatrzymuje się, a następnie wraca. Diagram czasoprzestrzenny powstaje z takiego wykresu przez zamianę kierunków osi

W kinematyce jednowymiarowej ruch opisuje się za pomocą wykresów położenia w funkcji czasu, na których nachylenie i kształt linii ujawniają cechy ruchu wykraczające poza samo położenie obiektu. Diagram czasoprzestrzenny jest w istocie takim wykresem, w którym zamieniono kierunki osi: oś pionowa odpowiada współrzędnej czasowej, a oś pozioma – przestrzennej.

W zastosowaniach relatywistycznych oś czasu skaluje się zwykle przez prędkość światła c i oznacza jako ct. Dzięki temu wielkość odkładana na osi czasu ma wymiar długości, taki sam jak współrzędna przestrzenna x, a linia świata światła jest nachylona pod kątem 45°. Przy takim wyborze osi im bardziej linia świata obiektu odchyla się od osi czasu, tym większa jest jego prędkość względem danego układu.

Diagram w fizyce Newtona thumb|W fizyce Newtona oś czasu pochyla się do ct′ dla obserwatora w ruchu, lecz oś przestrzenna x pozostaje wspólna (czas absolutny). Zdarzenie A otrzymuje ten sam czas u obu obserwatorów

Aby porównać współrzędne mierzone przez różnych obserwatorów, rozważa się dwa układy odniesienia S i S′ w tak zwanej konfiguracji standardowej. Ich osie są równoległe, początki pokrywają się w chwili t = t′ = 0, a układ S′ porusza się względem S wzdłuż osi x ze stałą prędkością v.

Czarne osie x i ct tworzą układ obserwatora spoczywającego w x = 0, a jego linia świata pokrywa się z osią czasu ct. Niebieska linia ct′ jest osią czasu drugiego obserwatora, poruszającego się ze stałą prędkością v. W fizyce Newtona oś przestrzenna x jest wspólna dla obu obserwatorów, ponieważ czas jest absolutny. Wszystkie zdarzenia leżące na prostej równoległej do osi x są równoczesne dla obu obserwatorów, a jedyny czas spełnia t = t′. Przejście między współrzędnymi obu układów opisuje transformacja Galileusza.

Diagram Minkowskiego Konstrukcja

thumb|Linia świata fotonu pod kątem 45° (ct = x); promień światła dzieli na pół kąt między osiami każdego układu odniesienia

W szczególnej teorii względności prędkość światła jest jednakowa dla wszystkich obserwatorów, wobec czego czas nie jest absolutny. Przejście do układu poruszającego się, opisywane transformacją Lorentza, pochyla ku linii świetlnej obie osie układu S′: zarówno oś czasu ct′, jak i oś przestrzenną x′. Tworzą one z osiami pierwotnymi ten sam kąt α, mniejszy od 45° i dany wzorem w którym β = v/c jest prędkością względną wyrażoną w jednostkach prędkości światła.

Dla dowolnej wartości α prosta ct = x pozostaje dwusieczną kąta między osiami i jest linią świata światła, wspólną dla wszystkich układów. Osie układu S′ nie są względem siebie prostopadłe w sensie euklidesowym, lecz pozostają prostopadłe względem iloczynu skalarnego Minkowskiego. Aby odczytać współrzędne zdarzenia, prowadzi się przez nie dwie proste równoległe do osi danego układu i odczytuje ich przecięcia z osiami.

Transformacja Lorentza i skalowanie osi thumb|Na euklidesowym rysunku odcinki odpowiadające jednostce na osiach układu S′ mają inną długość graficzną niż jednostka na osiach układu S; jednostki fizyczne pozostają takie same

Transformacja Lorentza wiąże współrzędne (x, ct) i (x′, ct′) wzorami w których jest czynnikiem Lorentza. Osie układu S′ są średnicami sprzężonymi (parą kierunków, z których każdy połowi cięciwy równoległe do drugiego) pary odpowiadających sobie hiperbol niezmienniczych.

Taka zmiana układu jest geometrycznym obrazem pchnięcia Lorentza, czyli transformacji do układu poruszającego się. Nie obraca osi jak zwykła rotacja euklidesowa, lecz zachowuje stożek świetlny i interwał czasoprzestrzenny.

Na euklidesowym rysunku odcinek odpowiadający jednostce współrzędnej na osiach S′ ma na ogół inną długość graficzną niż jednostka na osiach S. Nie oznacza to zmiany przyjętej jednostki fizycznej. Jeżeli U jest graficzną długością jednostki na osiach ct i x, to na osiach ct′ i x′ wynosi ona Odcinek U na osi ct odpowiada czasowi własnemu między dwoma zdarzeniami na linii świata zegara spoczywającego w układzie S, a odcinek U na osi x – długości własnej pręta spoczywającego w S.

Hiperbole niezmiennicze thumb|Hiperbole niezmiennicze: czasopodobne (zielone) i przestrzennopodobne (różowe) o asymptotach wzdłuż linii świetlnych. Po prawej trójwymiarowy stożek świetlny i odpowiadające mu hiperboloidy

Wszyscy obserwatorzy zgadzają się co do wartości interwału czasoprzestrzennego a zbiory zdarzeń o stałym interwale tworzą na diagramie hiperbole o asymptotach pokrywających się z liniami świetlnymi. Hiperbola jednostkowa wyznacza punkt jednostkowy czasu na każdej osi czasowej i służy do cechowania diagramu, a hiperbola sprzężona cechuje osie przestrzenne. Ta sama figura przedstawia więc geometrycznie zarówno dylatację czasu, jak i skrócenie długości.

Zjawiska przedstawiane na diagramie Względność równoczesności

thumb|Linie równoczesności (stałego czasu) układu spoczynkowego i układu poruszającego się z prędkością β są względem siebie nachylone – równoczesność zależy od układu odniesienia

Ponieważ oś przestrzenna x′ poruszającego się obserwatora jest pochylona względem osi x, zdarzenia równoczesne dla jednego obserwatora nie są równoczesne dla drugiego. Linie równoczesności, czyli proste równoległe do osi przestrzennej danego układu, tworzą dla różnych obserwatorów różnie nachylone rodziny prostych. Zjawisko to, zwane względnością równoczesności, leży u podstaw relatywistycznej dylatacji czasu i skrócenia długości.

Dylatacja czasu thumb|Dylatacja czasu: porównanie wskazań zegarów (zdarzenia O, A, B) odmierzanych wzdłuż osi ct i ct′. Każdy obserwator uznaje zegar drugiego za chodzący wolniej

Dylatacja czasu polega na tym, że zegar poruszający się względem obserwatora jest obserwowany jako chodzący wolniej. Obserwator o osiach czarnych przemieszcza się z początku układu do zdarzenia A, a poruszający się zegar – do zdarzenia B leżącego na jego linii świata. Zdarzenia równoczesne z A leżą dla obserwatora czarnego na prostej równoległej do osi przestrzennej i przechodzącej przez oba te punkty. Odcinek OB jest krótszy od odcinka OA, więc obserwator stwierdza, że na poruszającym się zegarze upłynęło mniej czasu niż na własnym.

Drugi obserwator, poruszający się wraz z zegarem, stwierdzi z kolei, że to zegar pierwszego obserwatora chodzi wolniej. Pozorna sprzeczność wynika z odmiennego ustalania zdarzeń zachodzących równocześnie w różnych miejscach. Nie istnieje wyróżniony układ inercjalny, w którym jeden z tych opisów byłby bardziej podstawowy – oba są równoważnymi opisami tych samych zdarzeń.

Skrócenie długości thumb|Skrócenie długości: pomiar końców pręta wykonany równocześnie w dwóch układach (zdarzenia O, A, B) daje różne długości

Skrócenie długości polega na tym, że pręt poruszający się względem obserwatora jest obserwowany jako krótszy. Końce pręta spoczywającego względem drugiego obserwatora poruszają się wzdłuż osi ct′ oraz prostej do niej równoległej. Dla pierwszego obserwatora końce pręta w chwili t = 0 to punkty O i A, podczas gdy długość własna pręta to odcinek OB. Ponieważ OA < OB, pręt jest dla niego skrócony.

Sytuacja jest symetryczna: każdy obserwator uznaje za skrócone przedmioty poruszające się wraz z drugim. Pozorny paradoks jest konsekwencją względności równoczesności, ponieważ obaj obserwatorzy mierzą położenia końców pręta w różnych chwilach.

Stałość prędkości światła thumb|Trzy układy inercjalne na jednym diagramie; linie świata fotonów pozostają dwusiecznymi kątów między osiami każdego z nich, więc wszyscy obserwatorzy mierzą tę samą prędkość światła

Dla linii świata fotonów przechodzących przez początek układu zachodzi x = ct oraz x = −ct. Linie te są dwusiecznymi kątów między osiami każdego układu, więc wszyscy obserwatorzy mierzą tę samą prędkość światła c, zgodnie z drugim postulatem szczególnej teorii względności. Wyjaśnia to także wynik doświadczenia Michelsona-Morleya.

Stożek świetlny i przyczynowość thumb|Stożek świetlny dzieli czasoprzestrzeń wokół zdarzenia na obszar przyczynowej przyszłości, przeszłości i przestrzennopodobne „gdzie indziej”

Proste przechodzące przez początek układu i bardziej strome niż linie świata fotonów odpowiadają obiektom poruszającym się wolniej od światła. Każdy punkt powyżej początku i między liniami świetlnymi można osiągnąć z prędkością mniejszą od c, więc może on pozostawać w związku przyczynowym z początkiem. Obszar ten to absolutna przyszłość, a analogiczny obszar poniżej – absolutna przeszłość. Parę zdarzeń, którą dla wszystkich obserwatorów dzieli dodatni odstęp czasowy, nazywa się czasopodobną, a parę połączoną sygnałem świetlnym – zerową, czyli świetlnopodobną. Dodanie kolejnego wymiaru przestrzennego zamienia obszary przyszłości i przeszłości w stożki świetlne o wierzchołkach stykających się w początku układu.

Granica prędkości światła thumb|Stożek świetlny i transformacja Lorentza: linie świata dla v < c, v = c i v > c względem osi (x, t) oraz przekształconych osi (x′, t′)

thumb|Antytelefon tachionowy: sygnał nadświetlny wysłany z O do A, a następnie z A do B, dociera do zdarzenia w przeszłości nadawcy – naruszenie przyczynowości

Proste o mniejszym nachyleniu względem osi przestrzennej niż linie świata fotonów odpowiadałyby obiektom lub sygnałom poruszającym się szybciej od światła, niezależnie od układu obserwatora. Pary takich zdarzeń nazywa się przestrzennopodobnymi, a ich kolejność czasowa może być dla różnych obserwatorów różna. Dlatego dla obiektu poruszającego się z O do A z prędkością nadświetlną można znaleźć obserwatora, dla którego porusza się on z A do O. Przy odpowiednim doborze układów sygnał nadświetlny pozwoliłby wysłać informację we własną przeszłość, naruszając zasadę przyczynowości.